【正文】 等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF（等式的性質(zhì)），即∠B+∠C=∠BEC．選圖②證明：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一條直線的兩直線互相平行），∴∠C+∠CEF=180176。=360176。﹣∠E=360176?！嗨倪呅蜳CEB中，∠BPC=360176。故答案為：130176。依據(jù)∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30176。時，∠1=∠2=30176。．故當(dāng)∠CDH為60度時，∠GDC=∠ADH．【點評】本題主要考查了平行線的判定以及三角形外角性質(zhì)的運用，兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．即內(nèi)錯角相等，兩直線平行．　20．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為　∠E=∠END﹣∠BME??；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，則=　　．【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END=∠EFB，再根據(jù)∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME；（2）由平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180176?！唷螮+2∠PMA+2∠CNP=180176。；（2）若點C在線段AD上（不與A、D、G重合），連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線交于點H，請在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系；（3）若直線AD的位置如圖3所示，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請直接寫出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠MAG+∠PBG=90176。；當(dāng)C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB﹣∠CBG=270176?；?∠AHB+∠CBG=90176。；②如圖，當(dāng)點C在DG上時，同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90176。；2∠AHB﹣∠CBG=270176。﹣2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=90176。；②如圖，當(dāng)C在DG上時，同理可得，∠ACB=360176。﹣2∠AHB=90176。則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180176。即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180176?！逜C∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180176。﹣2t）=2t﹣120176。﹣t，而∠ACD=120176。﹣t）=t﹣60176。+20176?！螩DE+∠DEG=180176。．理由：如圖3，過點E作EG∥CD，∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180176。．故答案為：2∠BFD+∠BED=360176?？傻茫?α+β）+3α+（3α+β）=180176。+90176。故答案為：∠A+∠C=90176?！螰CB+∠NCF=180176。②由①②聯(lián)立方程組，解得α=15176。=105176。﹣2x，根據(jù)EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根據(jù)∠FEH+∠HEN=180176?！進(jìn)E，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，∴∠EMN=∠AMN，∠ENM=∠MNC，∴∠EMN+∠ENM=90176。﹣2x，∵EP平分∠FEH，∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），又∵∠FEH+∠HEN=180176。．【點評】本題主。﹣2x=180176。又∵NG⊥EN，∴∠MEN+∠ENH=180176。﹣2x=180176。再根據(jù)NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180176?！唷螮BC=∠ABE+∠ABC=15176?？傻茫?α+β）+3α+（3α+β）=180176。又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90176。．【解答】解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90176。最后解方程組即可得到∠ABE=15176。?。唬?）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD=∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180176。∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360176。；然后根據(jù)∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360176。；（2）∠AKC=∠APC．理由：如圖2，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC；（3）∠AKC=∠APC．理由：如圖3，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進(jìn)行計算．　25．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是　∠ABE+∠CDE=∠BED　．（2）如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，點E在直線BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系　2∠BFD+∠BED=360176?！螪CP=20176。﹣∠BCA=120176。﹣t，∴∠BCA=180176。﹣2t，∴∠BAC=60176。=60176。∠BCD=120176。．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的運用，準(zhǔn)確識圖并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，難點在于利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計算．　22．如圖，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En．（1）如圖①，求證：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如圖②，求證：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接寫出結(jié)論）．【分析】（1）先過E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進(jìn)而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）先根據(jù)∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，運用（1）中的結(jié)論，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；（3）根據(jù)∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，得出∠BE3C=∠BEC；…據(jù)此得到規(guī)律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖①，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如圖2，∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，∴由（1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點為E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；（3）如圖2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此類推，∠En=∠BEC，∴當(dāng)∠En=α度時，∠BEC等于2nα度．【點評】本題主要考查了角平分線的定義以及平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等的運用．解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，解題時注意：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．　23．“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=　60　176。﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90176。﹣2∠AHB=90176。﹣∠MAC﹣∠PBC=360176。﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90176?！?∠AHB=∠CBG+90176。∴∠MAG+∠PBG=90176。；當(dāng)點C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=90176?！唷螮+2∠NPM=180176。即可得到∠E+2∠NPM=180176。．（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，∴當(dāng)∠GDC=∠ADH時，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=180176。=60176。時，點E、F分別在CD和AC的延長線上運動，試探討∠E和∠F的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AD和BC交于點G，過點D作DH∥BC交AC于點H，若AC⊥BC，問當(dāng)∠CDH為多少度時，∠GDC=∠ADH．【分析】（1）依據(jù)AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可得到∠2=∠BAC，進(jìn)而判定CD∥AB．（2）當(dāng)∠ADC=120176。﹣100176。=260176。．選圖③證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一條直線的兩直線互相平行），∴∠C=∠CEF（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B﹣∠C=∠CEF﹣∠BEF（等式的性質(zhì)），即∠B﹣∠C=∠BEC．（3）∠BPC的度數(shù)是130176。．（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠B+∠C+∠CEF+∠BEF=180176。再根據(jù)BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE=130176?！。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果，不用寫計算過程）【分析】（1）依據(jù)圖①、圖②和圖③所示的位置，直接寫出三個圖形中相應(yīng)的∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系即可；（2）過點E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系；（3）由圖②的結(jié)論可得，∠ABE+∠DCE=360176。=142176?！唷螮DK=16176?！逥I平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4176?！螴=20176?！摺螦ED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30176。依據(jù)∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22176。再根據(jù)∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30176。則∠AED=　70　176?！?∠1+3∠2+∠MEN=360176。+180176。；（2）①過E作EF∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進(jìn)行推導(dǎo)計算，即可得到∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②設(shè)∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根據(jù)8字形結(jié)構(gòu)得到∠GNQ=3α+3β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，得到∠GND=∠1=α+β，據(jù)此可得∠ENG：∠GND的值．【解答】解：（1）①∠BME+∠DNE+∠MEN=360176。﹣α）=90176?！唷螧FA+∠BAC=180176。﹣2（90176。﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，F(xiàn)M平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180176。﹣90176。）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90176?！唷螮HP+∠HEP=180176。2=6，∴第91個點的坐標(biāo)為（﹣6，13），第90個點的坐標(biāo)為（﹣5，13）．故答案為：（﹣5，13）．【點評】本題考查了點的坐標(biāo)與規(guī)律變化問題，觀察出縱坐標(biāo)的數(shù)值與相應(yīng)的點的坐標(biāo)的個數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．　11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中箭頭方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第102個點的坐標(biāo)為?。?4，10）?。痉治觥繎?yīng)先判斷出第102個數(shù)在第幾行，第幾列，再根據(jù)分析得到的規(guī)律求解．【解答】解：把第一個點（1，0）作為第