【正文】 k????1 1 ( 1 ) ( 1 )11nk k n knkn p C p q? ? ? ? ???? ?1nk k n knkk C p q ??? ?( 0 , 1 , 2 , . . . , 。 1 )k n q p? ? ?例 4 11 1 ( 1 ) ( 1 )110nk k n knkn p C p q?? ? ? ? ????? ?? ? 1nn p p q ??? np?E(X)=np 所以 例 5 設(shè) X～ P(?) ,其分布律為 ： ? ?{ } 0 , 1 , 2 , ...!k eP X k kk?? ?? ? ?0( ) { }kE X k P X k?????11 ( 1 ) !kke k? ??????? ??1 !kkkek?????? ???ee??? ??E(X)=? 所以 例 6 幾何分布的數(shù)學(xué)期望 解 : 設(shè) X服從幾何分布，則 ? ? ? ?1 1 , 2 . . .kkp P X k q p k?? ? ? ?? ?1kkE X k p??? ?1qpq???? ?????? ?23 ...p q q q ?? ? ?? ? 2111ppq? ? ??11kkk q p???? ? ? ?21 2 3 . . .p q q? ? ? ?例 7 隨機(jī)變量 X取值為 對(duì)應(yīng)的概率為 ? ? ? ?21 1 , 2...kkkxk k? ? ?? ?1111 l n 2kkkkkxpk????? ? ? ? ???12k kp ?顯然 pk?0, 且 但是 111kkkkxpk????? ? ???11kkp???? 所以 X的數(shù)學(xué)期望不存在 . 設(shè) X是連續(xù)型 隨機(jī)變量 ， 其密度為 f (x) ， | | ( )x f x d x?????（ 即無(wú)窮積分 絕對(duì)收斂 ） 記 ： ( ) ( )E X x f x d x????? ?稱(chēng) E(X)為隨機(jī)變量 X 的 數(shù)學(xué)期望 . 若 ()xf x d x?????1. 定義 ()xf x d x?????若 存在 ， 不絕對(duì)收斂 ,則稱(chēng) X的數(shù)學(xué)期望 不存在 . 二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 0 x xi+1 xi f (x) 用離散型的思路對(duì) ( ) ( )E X x f x d x????? ?進(jìn)行解釋 : 在 x軸上用密集的點(diǎn)列 {xi}把 x軸 分成很多小區(qū)間 ,長(zhǎng)為 ?xi= xi+1 ?xi 當(dāng) X在區(qū)間 [xi, xi+1) 取值時(shí) ,可近似認(rèn)為其值為 xi ,而 X取 上述區(qū)間內(nèi)之值的概率近似為 f(xi)?xi,這樣 ,原來(lái)的連續(xù) 型 X可近似看作一個(gè)取無(wú)窮個(gè)值 {xi}的離散型隨機(jī)變量 , 其期望為 ? ? i i iix f x x??當(dāng) ?xi越來(lái)越小時(shí) ,上式越來(lái)越接近 ()xf x d x?????常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例 8 設(shè)隨機(jī)變量 X～ Ｕ [a, b],其密度為 ： ?????????其它,0,1)( bxaabxf( ) ( )E X x f x d x????? ?221 ()2 ( ) baba??? 2ab??212bxaba???( ) ( )2( )b a b aba????1bax d xba? ?? 例 9 設(shè) X服從參數(shù)為 ?０ 的指數(shù)分布 ， 其密度為 ???????0,00,)(xxexfx??( ) ( )E X xf x d x????? ?0xxe ?? ????10xe ??? ????0xx e d x???? ?? ?1??0xe d x??? ?? ? )(21)( 222)(????????? ????xexfx例 10 正態(tài)分布 ： X~N( ? , ?2) 其密度為 ： ( ) ( )E X x f x d x????? ?xt????令221 ()2tt e d t????? ????? ?222tte d t???? ???? ?=? 這表明 :正態(tài)分布 N( ?, ?2) 中的參數(shù) ? 就是 X 的均值 。 由此可見(jiàn) ， 方差是表示隨機(jī)變量取值圍繞 E(X)的 疏散程度的量 。 和數(shù)學(xué)期望相比 ， 中位數(shù)受個(gè)別特大值和特小 值影響很小；而且中位數(shù)總存在 ， 數(shù)學(xué)期望不 一定存在 ， 即使存在也不一定好求 。 (g是連續(xù)函數(shù) ) 二 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 設(shè) (X, Y)為二維隨機(jī)變量 ， Z=g(X, Y ) 當(dāng) (X, Y)是離散型時(shí)，設(shè) (X, Y)的 聯(lián)合概率函數(shù)為 { , } ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?? ? [ ( , ) ] ( , ) ( , )E Z E g X Y g x y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ??? ??則 當(dāng) (X, Y)是連續(xù)型時(shí)，設(shè) (X, Y)的 聯(lián)合密度為 f(x,y) 則 ? ? [ ( , ) ] ( , )i j i jijE Z E g X Y g x y p?? ??（ 上面的結(jié)論可以推廣到 n元函數(shù)的情形 ） 此定理說(shuō)明 ， 不需要計(jì)算 Z的分布 ， 就可以求其期望 . 例 1 已知 (X, Y)的聯(lián)合分布律為 求：（ 1） E(2X+3Y) (2 ) E(XY) Y X 0 1 0 1 131201616561323 （ 3） (X,Y)的數(shù)學(xué)期望 ( 2 3 ) ( 2 3 )i j i jijE X Y x y p? ? ???解 ： (1) 由數(shù)學(xué)期望定義 1( 2 0 3 0 ) ( 2 0 3 1 ) 03? ? ? ? ? ? ? ? ? ?116?11( 2 1 3 0 ) ( 2 1 3 1 )26? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )i j i jijE X Y x y p? ??（ 2） 120133? ? ? ?（ 3） 23?()EX510166? ? ? ?16?()EY21( , )36所以 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 1 1 1( 0 0 ) ( 0 1 ) 0 ( 1 0 ) ( 1 1 )3 2 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?16? 設(shè) (X ,Y) 的密度為： 2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y??? ?? 其 它1 0 , 0 , 0x y x y? ? ? ? ?x y 0 1 1 D 1yx??( , )E X E Y其中 D是由直線 ： 圍成的三角形區(qū)域 求 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望 例 2 11 200 24xdx x y dy?? ??1 2 3 4012 ( 2 )x x x dx? ? ??( , )x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??1120024xx dx y dy?? ??1 22024 ( 1 )2 x x d x???2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y ????? 其 它25?解 ： ()EXx y 0 1 1 D 1yx?? 2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y ????? 其 它( ) ( , )E Y y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??11 20024xxd x y d y?? ?? 25?x y 0 1 1 D 1yx??所以 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 22( , )55例 3 ? ? 0 , 0( , )0xye x yf x y??? ???? ??? 其 它設(shè) (X ,Y) 的密度為： 求 E(X) , E(Y), E(XY) 解 : E(X) ( , )x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??00xyx e d x e d y?? ????? ??1?同理 E(Y)＝ 1 ( , )x y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ??E(XY) 00xyx e d x y e d y?? ????? ??? ? ? ?22? ? ??1?例 4 ? ?224 0 , 0( , )0xyx y e x yf x y???? ??? ??? 其 它設(shè) (X ,Y) 的密度為： 求 22Z X Y?? 的均值 E(Z) 解 : E(Z) 22 ( , )x y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?????? ?222200 4xyx y x y e d x d y? ? ? ? ??? ? ???cossi nxryr????22200 4 c o s s i nrd r r e r d r?? ? ??? ????242004 c o s s inrd r e d r?? ? ? ?? ?? ?? 2402 rr e d r?? ?? ?2rt? 320tt e d t?? ?? 52???? ????3 1 12 2 2??? ? ?? ????34 ?? 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 .對(duì)于多維隨機(jī)變量，在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) . 三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 設(shè) (X,Y) 是二維隨機(jī)變量 ,若 協(xié)方差 Cov(X, Y)=E[(X?EX)(Y?EY)] 定義 ： [ ( ) ( ) ]E X E X Y E Y??即 : 存在 ， 則稱(chēng)它為 X與 Y的 協(xié)方差 ， 記為 Cov(X, Y) 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè) 常用公式 由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得 Cov(X,Y)=E[(X?EX) (Y?EY)] =E(XY)? EXEY ? EYEX + EXEY = E(XY)? EXEY 即 : Cov(X,Y)= E(XY)?EXEY =E[XY ?YEX?XEY +EXEY ] 定義 ： [ ( ) ( ) ] ( , 1 , 2 , , )i j i i j jb E X E X X E X i j n? ? ? 11 12 121 22 212......... ... ... ......nnn n nnb b bb b bBb b b????????????? 設(shè) (X1, X2,... ,Xn)為 n維隨機(jī)變量 , 為 n維隨機(jī)變量 (X1, X2,... Xn)的 協(xié)方差矩陣 . ( , )ijC o v X X稱(chēng) 為隨機(jī)變量 Xi和 Xj的 協(xié)方差 , 也記為 稱(chēng)方陣 ( , ) ( 1 , 2 , , )ii i i ib C ov X X D X i n? ? ?所以 ,協(xié)方差矩陣的主對(duì)角線元素為 Xi(i=1, 2, ... ,n)的方差 因?yàn)? 因而協(xié)方差矩陣 B是一個(gè) 對(duì)稱(chēng)矩陣 . , , 1 , 2 , , ,i j j ib b i j n??由于 Cov(Xi+Xj, Xk)= Cov(Xi, Xk)+ Cov(Xj, Xk) 協(xié)方差的性質(zhì) Cov(aXi, bXj) = ab Cov(Xi, Xj) a, b是常數(shù) （ 1） ( , ) ( ) , ( 1 , 2 , , )ii i i ib Co v X X D X i n? ? ?bij=Cov(Xi, Xj)= E(XiXj)?EXiEXj （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） bik2? bii?bkk （ 6） 對(duì)任意實(shí)數(shù) ti (i=1, 2,..