第四章矩陣的特征值和特征向量(文件)
【正文】 所 以 ， 的 屬 于特 征 值 的 全 部 特 征 向 量 為 cc 常 數(shù)( 2 ) 0 ,E A X? ??3對 于 ＝ 2 ， 解 對 應(yīng) 的 齊 次 線 性 方 程 組1231 1 1 00 0 3 00 0 1 0xxx? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?－即 求 解? ? T22 2 21 1 0 .2 ( 0 , )A?? ?可 得 到 它 的 一 個 基 礎(chǔ) 解 系 ＝ ， － ， 所 以 ， 的 屬 于特 征 值 的 全 部 特 征 向 量 為 cc 常 數(shù)000002 4 5V . E A XVnAAA??????n0由 例 、 例 和 例 可 以 看 到 ： 如 果 是 階 矩 陣 的 一 個特 征 值 ， 由 的 屬 于 的 全 部 特 征 向 量 再 添 加 零 向 量 ，就 構(gòu) 成 了 R 的 一 個 子 空 間 ， 一 般 的 稱 為 的 對 應(yīng) 于 的特 征 子 空 間 記 為 而 方 程 組 （ － ） ＝ 0 的 一 個基 礎(chǔ) 解 系 ， 就 是 特 征 子 空 間 的 一 組 基 .??例 設(shè) 是 的 一 個 特 征 值 ， 證 明 ： 是 的 一 個 特 征 值?? 0證 明 設(shè) 是 A 的 屬 于 的 特 征 向 量 ，A0? ? ? ? ?0則＝ （ ）22 0A ? ? ? ? ? ?? ? ?00在 上 式 兩 邊 左 乘 A ， 得A （ ）2 2 22,AA???00因 此 是 矩 陣 的 一 個 特 征 值 且 是 的屬 于 的 特 征 向 量二 .矩陣特征值和特征向量的性質(zhì) 2 .4. T設(shè) A 是 n 階 矩 陣 ， 則 A 與 A 有 相 同定 的 特 征 值理Tde t? ? ??TT證 明 由 于 det( EA)=det( EA) ( EA ) 所 以 A 與 A 有 相 同 特 征 多 項 式 ， 故 有 相 同 特 征 值3 A4. n 階 矩 陣 可 逆 的 充 要 條 件 是 它 的 任 一特 征 值定 理不 等 于 零d e t 0 , d e t 00AAAAA??? n充 分 性 ： 設(shè) 的 任 一 特 征 值 不 等 于 零 ， 假 設(shè) 不 可 逆則 于 是 det(0EA)=det(A)=(1)所 以 ＝ 是 的 一 個 特 征 值 ， 矛 盾de t 0AA??n證 明 必 要 性 ： 設(shè) 可 逆 ， 則 det A 0, 所 以 det(0EA)=det(A)=(1)即 ， 0 不 是 A 的 特 征 值 ， 或 者 ， A 的 任 一 特 征 值 不 等 于 零1212mmA n A mA? ? ?? ? ? ? ???m1m1 設(shè) 為 階 矩 陣 ， ， 是 的 個 不 同的 特 征 值 ， ， 分 別 是 的 屬 于 ， 的 特 征 向 量 ， 定 理則 ， 線 性 無 關(guān)證 明 對 不 同 的 特 征 值 個 數(shù)
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