第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(文件)
【正文】 也是隨機(jī)變量 , 理論上 , 雖然可通過 X的分布求出 g(X)的分布 , 再按定義求出 g(X)的數(shù)學(xué)期望 E[g(X)]. 但這種求法一般比較復(fù)雜 . 下面不加證明地引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理 . 28 定理 1 設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量 , Y=g(X), 且E(Y)存在 , 則 (1) 若 X為離散型隨機(jī)變量 , 其概率分布為 P{X=xi}=pi, i=1,2, … 則 Y的數(shù)學(xué)期望為 1( ) [ ( ) ] ( ) , ( 1. 3 )iiiE Y E g X g x p???? ?(2) 若 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 , X~f(x), 則 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) d ( 1 .4 )E Y E g X g x f x x????? ?29 定理 2 設(shè) (X,Y)是二維隨機(jī)向量 , Z=g(X,Y), 且E(Z)存在 . 則 (1) 若 (X,Y)為離散型隨機(jī)向量 , 其分布率為 P(X=xi,Y=yj)=pij (i,j=1,2, …) 則 Z的數(shù)學(xué)期望為 11( ) [ ( , ) ] ( , ) , ( 1 . 5 )i j ijjiE Z E g X Y g x y p?????? ??(2) 若 (X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量 , (X,Y)~f(x,y), 則 ( ) [ ( , ) ] ( , ) ( , ) d d ( 1 .6 )E Z E g X Y g x y f x y x y? ? ? ? ? ??? ??30 例 6 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率分布為 Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求 E(X),E(Y),E(XY). 解 其實(shí) X,Y,XY都可以看作是 (X,Y)的函數(shù)而套用 ()式 . 因此有 31 計(jì)算 E(X): Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 0 3/8 3/8 0 3/8 0 0 3/8 xi?pij: 求和 12 3( ) 82EX ? ? ?32 計(jì)算 E(Y): Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 0 3/8 6/8 0 0 0 0 3/8 yj?pij: 求和 12 3( ) 82EY ? ? ?33 計(jì)算 E(XY): Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 0 3/8 6/8 0 0 0 0 9/8 xiyj?pij: 求和 18 9( ) 584E X Y ? ? ?34 例 7 設(shè)隨機(jī)變量 X在 [0,?]上服從均勻分布 , 求 E(sinX), E(X2)及 E[XE(X)]2. 解 由定理 1, 有 001( sin ) sin ( ) d sin d12( c os ) | ,E X x f x x x xx??????????? ???35 22 2 20222 201( ) ( ) d d ,3[ ( ) ]21d.122E X x f x x x xE X E X E Xxx???????????? ? ???? ???????? ???????36 例 8 設(shè)隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的概率密度 3231, , 12( , )0,y x xx y xf x y?? ? ??? ???其 它 求數(shù)學(xué)期望1( ) , .E Y EXY?????? 37 函數(shù)不為 0的區(qū)域 : 3231, , 12( , )0,y x xx y xf x y?? ? ??? ??? 其 它y=x xy=1 x y O 38 解 1/331 1 / 1
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