【正文】 ???(4 ) 2 R ez z z?? , 2 I mz z i z???復(fù)數(shù)的共扼性質(zhì) 在實(shí)際計(jì)算和證明中有廣泛應(yīng)用 2022/3/13 9 ? 例 1．計(jì)算復(fù)數(shù) 3223ii??解： 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2 2( ) ( )z x x y y x y x yiz x y x y?????? 2 2 2 23 2 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 3 32 3 2 3ii? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???法一（商的公式） 法二（共軛性質(zhì)） _ _ _ _ _ _1 1 2 1 2___ 22222||z z z z zzzzz?????22( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 6 6) ( 4 9)( 2 3 ) ( 2 3 ) 2 3i i i iii? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?應(yīng)用共扼性質(zhì)來計(jì)算顯得簡單，在后面計(jì)算中要靈活運(yùn)用共軛 2022/3/13 10 ? 例 2． 22 ) ( ) 0 , , .x y i x y x y? ? ? ? ?設(shè)（ 求實(shí)數(shù)解： 220 ,0xyxy? ? ??????由題意得 12 .14xxyy? ? ?????? ? ? ???解得： 或? 例 3． 13 , R e ( ) , I m ( ) .1iz z z z zii? ? ? ?設(shè)復(fù)數(shù) 求 與解： 131izii? ? ? ?因?yàn)?3 ( 1 ) 3 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2i i i ii i i i?? ? ? ?? ? ?223 1 3 1 5R e , I m , ( ) ( )2 2 2 2 2z z z z? ? ? ? ? ? ?所以2022/3/13 11 ? 例 4． 1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy? ? ? ?設(shè) 為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，證明： 1 2 1 2 1 22 R ez z z z z z??證明：1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )z z z z x i y x i y x i y x i y? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x y y i x y x y x x y y i x y x y? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 12 ( ) 2 R ex x y y z z? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z? ? ?1 2 1 22 R e ( ) 2 R e ( )z z z z??證法二： 2022/3/13 12 第二節(jié) 復(fù)數(shù)的表示法 ?一、復(fù)平面 定義： ( ) ( )xy由實(shí)軸 軸 ，虛軸 軸 按直角坐標(biāo)系構(gòu)成的平面，稱為復(fù)平面（或z平面）o 實(shí)軸虛軸復(fù)平面( , )M x y z x i y??在復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn) 與復(fù)數(shù) 是一一對應(yīng)x iy?yx復(fù)數(shù)的模： 22z x y r? ? ?z復(fù)數(shù)的幅角： Argz? ??主幅角： ( , ]argz ????a r g 2 ( 0 , 1 , 2 , )A r g z z k k?? ? ? ? ? ??????即：一復(fù)數(shù)的輻角 Argz是多值的 2022/3/13 13 ?二、復(fù)數(shù)的表示法 1．復(fù)數(shù)的向量表示法 O M z x iy? ? ?因此 22 ,z r x y? ? ? t a n( ) yArgz x?顯然有不等式： , , , 。D f z(3) 有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù) 是有界的( ) | ( ) |D f z D f z(4) 有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù) ，在 上其模 可取得最大值和最小值.()D f z D有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù) 在 上是一致連續(xù)的：0 , 0 , , : | | , | ( ) ( ) | .z z D z z f z f z? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?都有定義： 作業(yè) 習(xí)題一 (1) (3) (5) (2) （ 2） (3)（ 4） (1)（ 2） (3)（ 4） (1)（ 5） (1) P28 。z a z b? 1 2 1 2( ) ( )t t z t z t??(2) 當(dāng) 時(shí)，有 ；則稱這條曲線為 簡單閉曲線 ． 簡單閉曲線 非簡單閉曲線 2022/3/13 32 4．單連通區(qū)域與多連通區(qū)域 設(shè) D為一平面區(qū)域，若在 D中任作一條簡單閉曲線，而曲線內(nèi)部總屬于 D， 則 稱 D為 單連通區(qū)域 ，否則是多連通區(qū)域． 單連通區(qū)域的特征：屬于 D的任何一條簡單閉曲線 ， 在 D內(nèi)可經(jīng)過連續(xù)變形而縮成一點(diǎn) ． 單連通區(qū)域 多連通區(qū)域 洞 2022/3/13 33 第四節(jié) 無窮大與復(fù)球面 ?一 、 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 為了討論問題方便，我們不但要討論有限復(fù)數(shù)，還要討論一個(gè)特殊的復(fù)數(shù) 10???記做 ，無窮大， 它是由下式定義的： 0,a ??它與有限數(shù) 的四則運(yùn)算如下：。x z y z z x y z x y? ? ? ? ? ?2 2z z z z??zo 實(shí)軸虛軸復(fù)平面x iy?xy M2 1 1 2z z z z? 表示 與 的距離1z2z復(fù)數(shù)、復(fù)平面上點(diǎn)、向量之間一一對應(yīng) 1 2 1 2 1 2 1 2,z z z z z z z z? ? ? ? ? ?共軛復(fù)數(shù)之間的幾何關(guān)系：z x iy z x iy x? ? ? ?與 ，關(guān)于 軸對稱1zxyo, a r g a r gz z z z? ? ?且有：2022/3/13 14 2．復(fù)數(shù)的三角表示法 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系： c o s , s i nx r y r????復(fù)數(shù)的三角表示式： ( c o s s i n ) ( c o s s i n )z x iy r i z i? ? ? ?? ? ? ? ? ?( c o s s i n ) [ c o s ( ) s i n ( ) ]z r i r i? ? ? ?? ? ? ? ? ?3．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法 利用歐拉公式 ： c o s s i niei? ????復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式： ,iiz z e re???? iz z e ???注意：復(fù)數(shù)的三角表示式不是唯一的，因?yàn)檩椊怯袩o 窮多種選擇，如果有兩個(gè)三角表示式相等： 1 1 1 2 2 2( c os si n ) ( c os si n ) ,r i r i? ? ? ?? ? ?則可以推出： 12,rr? 12 2,k? ? ??? k其中 為整數(shù)22c os , sin, a r c ta n( c os si n )x r y r yr x y xz x iy z r i???????? ? ?????????? ? ? ?? ??????? c o s s i niei iz r e? ?? ????????? ?? ?????2022/3/13 15 ? 例 1． 12 2zi? ? ?將 化為三角表示式和指數(shù)表示式.解： 4,zr?? ?因?yàn)檩椊?在第三象限，則2 3 5a r c t a n a r c t a n3 6 612?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??23ta n , ( , ) ,212yx? ? ? ??? ? ??21t a n t a n( ) , ( 0 , ) ,212? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??于是 554 [ c o s ( ) s in ( ) ]66zi ??? ? ? ?564 ie ???主幅角值的確定： a r g ta n , 0 , 0, 0 ,a r g20a r c t