【正文】 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2?第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬 信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系 模擬信號(hào) xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式定義如下： ( ) ( )1( ) ( )2jtaajtaaX j x t e dtx t X j e dt????????????????() () t與 Ω?(∞,+∞) 對(duì)連續(xù)信號(hào)和 采樣信號(hào) ，它們的關(guān)系用下式 () 描述： ~( ) ( ) ( )a anx t x n T t n T??? ? ????和 xa(t)的傅里葉變換之間的關(guān)系為： ~ ()axt第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 時(shí)域離散信號(hào) x(n) 的一對(duì)傅里葉變換式為： ( ) ( )1( ) ( )2j j nnj j nX e x n ex n X e e d??????????? ???????() () ? 序列 x(n)的 FTX(e jω)與模擬信號(hào) xa(t)的 FTXa(jΩ)之間的關(guān)系為： () 結(jié)論 ： 序列的 FT和模擬信號(hào)的 FT之間的關(guān)系 ， 與采樣信號(hào)和模擬信號(hào)的 FT之間關(guān)系 是一樣的 ， 都是 Xa(jΩ)以周期 Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓 ， 頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系為 ω=ΩT。 X(z)=ZT[x(n)]收斂域 定義為使上式存在的 |z|的取值域 ， 一般收斂域用環(huán)狀域表示： 圖 Z變換的收斂域 Rx+ 和 Rx 稱為收斂半徑 Rx 可以小到零， Rx+可以大到無窮大。 要點(diǎn)： x(n) ?? [ X(z)， 收斂域 ] 即對(duì)一個(gè)確定的 x(n)， 其 Z變換 X(z)的表達(dá)式和收斂域是一個(gè)整體 ， 二者共同 、 唯一確定 x(n)。 如果已知序列的 Z變換 ， 可用上式方便的求出序列的 FT， 條件 是收斂域中包含單位圓 。 該序列的 FT不存在 ， 但如果引進(jìn)奇異函數(shù) δ(ω)， 其傅里葉變換可以表示出來 (見表 )。 若： n10， 出現(xiàn) zn 項(xiàng) ， 則收斂域不包括 z=∞點(diǎn)； 若： n20， 出現(xiàn) zn項(xiàng) ， 則收斂域不包括 z=0點(diǎn)； 如果是因果序列 ， 收斂域包括 z=∞點(diǎn) 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 右序列 右序列是在 n≥n1時(shí) ， 序列值不全為零 ， 而在 nn1 時(shí) ，序列值全為零的序列 。 如果是因果序列 ， 收斂域定為 Rx |z|≤∞。 其 Z變換為： 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和 ， 其 Z變換為： X(z)的收斂域是 X1(z)和 X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域 。如果 |a|1, 兩部分的公共收斂域?yàn)閨a||z||a|－ 1, 其 Z變換如下式 : 如果 |a|≥1，則無公共收斂域，因此 X(z)不存在。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 已知 X(z)=(1az1)1， |z|a， 求其逆 Z變換 x(n)。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) （ 1） n≥0 時(shí) ， 只有一個(gè)極點(diǎn)： ( ) R e [ ( ) , ]()nzanx n s F z azzazaa?????? （ 2） n0時(shí) ， 增加 z=0的 n階極點(diǎn) ， 不易求留數(shù) ， 采用留數(shù)輔助定理求解 ， 檢查 ()式是否滿足 ， 由于 n0， 只要 NM≥0，()式就滿足 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 已知 , 求其逆變換 x(n) 解 該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列 x(n)，必須先確定收斂域。 1( ) R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ]x n F z a F z a ???12211( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( 1 ) ( ) ( )nnzazaa z a zz a z az a a z a z a z a ??? ????? ? ? ?? ? ? ? ?nnaa ???第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) （ 2） 收斂域?yàn)?|z||a|: 這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算 n≥0情況。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 序列移位 設(shè) X(z)=ZT［ x(n)］ , R x|z|R x+ 則 ZT［ x(nn0)］ = zn0X(z), R x|z|R x+ () 3. 乘指數(shù)序列 設(shè) X(z)=ZT［ x(n)］ , R x|z|R x+ y(n)=anx(n), a為常數(shù) 則 Y(z)=ZT［ anx(n)］ =X(a1 z) |a|R x |z| |a|R x+ () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 序列乘 n 設(shè) ( ) [ ( ) ]()[ ( ) ]xxxxX z Z T x n R z RdX zZ T nx n z R z Rdz????? ? ?? ? ? ?則 () 5. 復(fù)序列的共軛 設(shè) 6. 初值定理 設(shè) x(n)是因果序列 ， X(z)=ZT［ x(n)］ ( 0 ) l i m ( )xx X z???() 則 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 7. 終值定理 若 x(n)是因果序列 ， 其 Z變換的極點(diǎn) ， 除可以 有一個(gè)一階極點(diǎn)在 z=1上 ， 其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi) ， 則 ： 終值定理也可用 X(z)在 z=1點(diǎn)的留數(shù)表示： 如果單位圓上 X(z)無極點(diǎn)，則 x(∞)=0。 對(duì) ()式進(jìn)行 Z變換： 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ???() 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，稱為 零狀態(tài)解 :H(z)X(z) 與輸入信號(hào)無關(guān)，稱為 零輸入解 。 解： 對(duì)差分方程進(jìn)行 Z變換： 11( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( )()1Y z bz Y z by X zb X zYzbz??? ? ? ???? 而 11( ) ,1X z z aaz ????于是 1 1 121()1 ( 1 )( 1 )bYzb z a z b z? ? ???? ? ? 收斂域?yàn)椋?|z|max(|a|,|b|) 1 1 11( ) 2 ( ), 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??式中第一項(xiàng)為零輸入解 ， 第二項(xiàng)為零狀態(tài)解 。 ? 具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的 極點(diǎn)分布 確定。 單位脈沖響應(yīng)：h(n)=(anan)u(n)(見例題 )， 這是一個(gè)因果序列 ， 但不收斂 。 其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|， 這是一個(gè)收斂的雙邊序列 ， 如圖 (a)所示 。 方法 ：將圖 (a)的 h(n)從 N到 N截取一段，再向右移，形成如圖 (b)所示的 h’(n)序列，將 h’(n)作為具體實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性 將 ()式因式分解 ， 得： 式中： A=b0/a0， 影響傳輸函數(shù)的幅度大小； cr是 H(z)的 零點(diǎn) ， dr是其 極點(diǎn) 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) ()111111( ) ( )()()Nrj j jrNrrNrj rNrrNNrrrrcBH e A H e edBcBH e AdB? ? ? ??? ? ? ??????????????????() () 式中： 系統(tǒng)的傳輸特性或信號(hào)的頻率特性由 ()式和 ()式確定。 當(dāng) B點(diǎn)轉(zhuǎn)到 極點(diǎn)附近 時(shí)，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，因而幅度特性可能 出現(xiàn)峰值 ，且極點(diǎn)愈靠近單位圓，極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度愈短，峰值愈高愈尖銳。 結(jié)論： 極點(diǎn)位置影響頻響的峰值位置及尖銳程度， 零點(diǎn)位置影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。 該例說明 ：處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn) ， 由于零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度或者是極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度始終為 “ 1” ， 因此 原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的頻率特性 。 解： 由 H(z)=z1， 極點(diǎn)為 z=0， 幅度特性 |H(e jω)|=1，