計(jì)算方法課件劉師少第一章數(shù)值計(jì)算方法(文件)
【正文】 和計(jì)算 工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差 ?在數(shù)值計(jì)算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算 ?需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理 ?用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差 ，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差 4. 舍入誤差 第一章計(jì)算方法與誤差 例 如在計(jì)算時(shí)用 ?， 產(chǎn)生的誤差 R= ?=… 就是舍入誤差。 實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個(gè)量來衡量誤差限 , 這就是說 , 如果近似數(shù) 的誤差限為 , 則 表明準(zhǔn)確值 x 必落在 ? ? 上 , 常采用下面的寫法 *** ???? xxe*x *? **** ?? ???? xxx?? ?? ** , xx** ??? xx來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值 x所在的范圍。 簡記為 )( *xr? *x)( *xr? *r? 相對誤差和相對誤差限 例 4. 甲打字每 100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每 1000個(gè) 錯(cuò)一個(gè)，求其相對誤差 解： 根椐定義 :甲打字時(shí)的相對誤差 乙打字時(shí)的相對誤差 00* 11 001 ??re00* 100 01 ??re 有效數(shù)字 定義 設(shè) x的近似值 mnxxxx 21* ??? ?其中 是 0到 9之間的任一個(gè)數(shù) ,但 n是正整數(shù) , m是整數(shù) ,若 ix nix ,3,2,1,01 ???nmxx ???? 1021*則稱 為 x的具有 n位有效數(shù)字的近似值， 準(zhǔn)確到第 n位， 是 的有效數(shù)字。證畢 例 9 已知近似數(shù) x*的相對誤差限為 %，問 x* 有幾位有效數(shù)字？ 解：由 )1(1* 10)1(21 ?????nr xe)1(110)1(2 11000 3 ????? nx得 ⅰ 當(dāng) x1=1時(shí) ,3?103=1/4?10(n1)?12?103=10(n1) 上式兩邊取以 10為底的對數(shù)得 lg22+lg3+(3)=n+1 ∵ lg2= lg3= 2?+=n ∴ n= ⅱ 當(dāng) x1=9時(shí) ,3?103=1/20?10(n1)? 6?103=10n 上式兩邊取以 10為底的對數(shù)得 lg2+lg3+(3)=n ∴ n= ∴ x*至少有 3位有效數(shù)字 例 10 為使 的近似數(shù)的相對誤差小于 %， 問查開方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？ 解： ∵ 8 9 ∴ x1=8 ∴ (n1)lg2+2lg3+(3) n n ∴ n 取 n =3即查平方表時(shí) ? 70703)1()1(1101018 11000 110)1(2 1 ????? ?????? nnx70∴ 注意 : 已知有效數(shù)字 ,求相對誤差用公式 已知相對誤差 ,求具有幾位有效數(shù)字公式 )1(1* 10)1(21 ????? nrxe)1(1* 1021 ???? nrxe 函數(shù)運(yùn)算誤差 函數(shù)運(yùn)算誤差可用泰勒展開式來分析 設(shè)一元函數(shù) f(x)， 自變量 x的近似值 x*， f(x)的近似值 f(x*)， 其誤差限記為 ?[f(x*)] ，對 f(x) 在近似值 x* 附近泰勒展開 誤差的傳播 2****2****)(!2)()()()()(!2)())(()()(????fxfxfxfxxfxxxfxfxf??????????????介于 x,x*之間 ?其中 ?*為 近似數(shù) x*的絕對誤差限，設(shè) f｀ (x* )與 f 〃 (x* )相差不大 ,可忽略 ?*的高次項(xiàng) ,于是可得出函數(shù)運(yùn)算的誤差和相對誤差 多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導(dǎo)出來 ? ?*******)()())(()()(????xfxfxfxfxfr????例 11 已測得某場地長 L的值 L*=110m,寬 d的值 d*=80m,已知 ?LL*? ≤, ?dd*?≤ 求場地面積 S=Ld的 絕對誤差限和相對誤差限 解： mldsmdlsddsllssldsdlslds110,80)()()(,*********????????????????????????????????????????????????%880027)()()(****** ????dlssssr???其中 ?(d*)= , ?(L*)= 絕對誤差限 ?(s*)?(80?+110 ? )m2=27m2 相對誤差限 算術(shù)運(yùn)算誤差 計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播。 xdxdxxxxxexedxxxxer ln)()(*****???????? 即 x的微分表示 x的絕對誤差，的微分表示x的相對誤差，利用這兩個(gè)關(guān)系式及微分運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)
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