【正文】 3134mVVVmehmvh??????????????? 若 V=1000V, 則 λ=39pm，近似于 Xray的波長。后來采用中子、質(zhì)子、氫原子等各種粒子流，都觀察到了衍射現(xiàn)象?？梢娢⒂^粒子的波動性是一種統(tǒng)計行為。 粒子性 ? 開始 ? 統(tǒng)計結(jié)果 時間 統(tǒng)計結(jié)果 波動性 ? 四、測不準(zhǔn)原理 ? 內(nèi)容 ? 具有波動性的粒子不能 同時 有精確的坐標(biāo)和 該坐標(biāo)方向 的動量 。由圖可以看到，如果只考慮一級衍射圖樣，則電子絕大多數(shù)落在一級衍射角范圍內(nèi)，電子動量沿 軸方向分量的不確定范圍為 ? 由德布羅意公式和單縫衍射公式 ? 和 ? 上式可寫為 xO?s i nPP x ??Ph??b?? ?s inbhP x ??? 又因為 ，所以， ? 宏觀世界與微觀世界的力學(xué)量之間有很大區(qū)別，前者在取值上沒有限制，變化是連續(xù)的，而微觀世界的力學(xué)量變化是量子化的，變化是不連續(xù)的，例如，當(dāng)電子處在坐標(biāo)具有確定值的狀態(tài)時，動量就得不到確定值，相反若電子處在動量的具有確定只的狀態(tài)時，動量可以測到準(zhǔn)確值，坐標(biāo)就測不到確定值，而是平均值。 ? 宏觀物體有連續(xù)可測的運動軌道，可追蹤各個物體的運動軌跡；微觀粒子有概率分布特性，不可能分辨出各個粒子的軌跡。 ? 第三節(jié) 量子力學(xué)基本假設(shè) ? 量子力學(xué)是描述微觀體系運動規(guī)律的科學(xué)。假設(shè)雖然不能直接證明，但也不是憑科學(xué)家主觀想象出來的，它來源于實驗，并不斷被實驗所證實。定態(tài)是指體系的力學(xué)量平均值和幾率密度均不隨時間變化的狀態(tài)。 ? 單粒子平面單色光波函數(shù)為 ? 它是復(fù)函數(shù)。 ? 波函數(shù)的合格條件 ? 不是任何函數(shù)都可以作為波函數(shù)使用，波函數(shù)需同時滿足以下三個條件 zyx ,),(),(* tzyxtzyx ????),(),(* zyxzyx ??? ???? d? d x d y d zd ??),( zyx ?d? ⑴ 單值：即在空間每一點只能有一個值。因此，只有 b可以作為波函數(shù)。 ? 積分公式： ? ?????????? ??2222 2 ?dxedxee xxx????? ?aadxex ax?2122adxe ax?????? ?2? 波函數(shù)的性質(zhì) ? 歸一性 ? 它表示某體系中處于 狀態(tài)的粒子在全空間出現(xiàn)的幾率為 1。 ? 算符：對函數(shù)進(jìn)行某種運算，或?qū)D形進(jìn)行某種操作的符號。量子力學(xué)中算符通常用力學(xué)量符號上加 “ ∧ ” 表示，如 。 ? 動量算符： ? 因為 2222zyx PPPP ???2222?xPx ???? ?2222?yPy ???? ?2222?zPz ???? ?2222222222222 )(???? ???????????????? ??zyxPPPPzyx? ，稱為拉普拉斯算符。 ])()()[(????22222222xyyxzxxzyzzyMMMMzyx???????????????????????1? 2? A?A?2121 ??)(? ???? AAA ???? 一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、積分、拉普拉斯算符等都是線性算符。 dxdiA ??)e x p ( ix?? )e x p ( ix?????? ????? xdxixAixdxA )e x p (?)e x p (? ??xdxixixAdxA ??? ??? ? )e xp()]e xp(?[)?( ??A?? 本征方程 ? 若某一力學(xué)量 A的算符 作用于某一狀態(tài)函數(shù) 后，等于某一常數(shù) 乘以 ，即 ? ? 那么對 所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量 A具有確定的數(shù)值 。 A????aaa?? aA ??A?A??)e x p ( axa ???dxd? 解： ? 本征值為 。 ? 薛定諤方程 ? ⑴ 薛定諤方程的作用 描述微觀體系束縛因素和受束縛狀態(tài)之間的關(guān)系。 ? 三、態(tài)疊加原理 ? 假設(shè) Ⅲ 若 … ， 描述的是某一微觀體系的各可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系一個可能狀態(tài)。 ? 力學(xué)量的計算 ? ⑴ 本征態(tài)力學(xué)量 ? 力學(xué)量 A的算符作用于狀態(tài)函數(shù) ，得到本征方程，則稱力學(xué)量 A為本征態(tài)力學(xué)量。 ? ⑶ 線性組合態(tài)力學(xué)量 ? 該力學(xué)量為線性組合態(tài)的狀態(tài)函數(shù)時所對應(yīng)的力學(xué)量。 ? 解： ? 動量為非本征態(tài)力學(xué)量，沒有確定值。 ?該原理的其它內(nèi)容將在后續(xù)課程介紹。En。 節(jié)點數(shù) = 一維勢箱粒子的能量隨 ?n(x)的節(jié)點數(shù)的增加而升高。 ? ⑷ 波函數(shù)的正交歸一性 ? 波函數(shù)是由歸一化條件確定的，所以必須是歸一的。 lxnllnilxnldxdixpx???? c os2s i n2)(? ?? ????0s i n212s i ns i n2)())((0200*??????? ??lllxlxnlilxndlxnildxxdxdixp????????? ⑶ 動量平方 ? 動量平方是本征態(tài)力學(xué)量，有確定值。令這個箱子的一個頂點位于坐標(biāo)原點，而 a、 b、 c三條棱分別與 x、 y、z軸重合，顯然，此時體系的哈密頓算符為 ? Schordinger方程為： 0),(2),()( 2222222?????????? zyxmEzyxzyx???2222222222)(2? ?????????????mzyxmH??? 用分離變量法求解此方程。 ? 簡并能級：一個能級對應(yīng)兩個以上的狀態(tài)函數(shù)。 ? 解： ? 所以，三個量子數(shù)可以為 21 12 112，簡并度為 3。dinger方程； ② 解方程，由邊界條件和和合格波函數(shù)條件確定歸一化因子及 En，求得 ?n ③ 描繪 ?n， ?n*?n等 圖 形， 討論 其分布特點； ④ 用力學(xué)量算符作用于 ?n， 求各個對應(yīng)狀態(tài)各種力學(xué)量的數(shù)值，了解體系的性質(zhì)； ⑤ 聯(lián)系實際問題，應(yīng)用所得結(jié)果。 ? 解： ? 所以，三個量子數(shù)可以為 12 13 2123 31 321，簡并度為 6。 ? 簡并度：簡并能級對應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)的個數(shù)，用g表示。 ? 在三維勢箱中，每一組 確定一個狀態(tài)，以及與這個狀態(tài)相對應(yīng)的能量。 ? ⑷ 波長 2220*22202*24)()(4)(?)(lhndxxxlhndxxpxpllxx??? ?? ????nllnhhphx22????? ⑸ 坐標(biāo)平方 ? 坐標(biāo)平方為非本征態(tài)力學(xué)量，沒有確定值，計算其平均值。 ? 箱中粒子的各種力學(xué)量 ? 只要知道了 ，體系中各力學(xué)量便可用各自的算符作用于 而得到。例如：基態(tài)時，粒子在 處出現(xiàn)幾率最大。相比之下，一維箱粒子的能量取值是量子化的，且有零點能（ 體系最低能量 ）的存在（ E0 = h2/8ml2），結(jié)果是一維箱粒子不會靜止下來。 建立、求解薛定諤方程 )()(2 222xEdxxdm?????0)(2)(222?? xmEdxxd???2222?dxdmH???? 這是常系數(shù)二階線性齊次方程，其通解為 ? 根據(jù)合格波函數(shù)的連續(xù)性和單值條件，當(dāng) ? 時， ? 當(dāng) 時， ? 則 ? 通解化簡為 )2s i n()2c os ()( 21 xmEcxmEcx?????和0?x lx ? 0)( ?x?0?x 00s in0c o s)0( 21 ??? ?? cc?01 ?c)2s i n()( 2 xmEcx???? 當(dāng) 時， ? 不能為 0，所以 ? 解得 lx ?0)2s i n()( 2 ?? lmEcl??2c?nlmE??2 ???? ,3,2,1n 0?n2228 mlhnE ?? 將 E公式代入通解，得 ? 由歸一化條件求得 lxncx ?? s i n)(2?2c?? ????????lll lcllxnnlxcdxlxncdxlxnCdxx0220222202022212]2s i n2[2)2c o s1(21s i n)(????? ? 箱中粒子的波函數(shù) : ? 薛定諤方程的解 lc 22 ?