不等式證明的若干種方法_畢業(yè)論文(文件)
【正文】 ??????baabbababa ba，故 abba baba ? ． 故原不等式成立。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。 增量代換法 在對稱式 (任意互換兩個字母，代數(shù)式不變 )和給定字母順序 (如 a＞ b＞ c)的不等式， 常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡。 例 已知 33 2 , ( , )a b a b R? ? ? 求證 ： 2ab??． 證：假設(shè) 2ab??成立則 3( ) 8ab??． 即 3 3 2 23 3 8a b a b a b? ? ? ?332ab?? ( ) 2ab a b? ? ?． 2 2 3 3( ) ( ) 2a b a a b b a b? ? ? ? ? ?． 22( ) ( ) ( )a b a b a b a a b b? ? ? ? ? ?． 2ab??． 22ab a ab b? ? ? ?由此得 2( ) 0ab??，這是不可能的， 得出矛盾。 例 求證：2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ? *()nN? 證： * ,2k N k n? ? ?有21 1 1 1( 1 ) 1k k k k k? ? ???． 10 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 11 [ ( ) ( ) ( ) ]1 2 3 1 2 2 3 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??111 (1 ) 2 2nn? ? ? ? ? ?． 所以 2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ?． 故原不等式成立。 ?a,b,c 是三角形 ABC 的三邊長 . ? cba ?? ， )()( cfbaf ??? ， 即 mc cmba ba ???? ? ， 又 mba bamba bmba amb bma a ?? ???????????? ． ????? mb bma a mc cmba ba ???? ? ． ? mc cmb bma a ????? . 故原不等式成立。 11 例 求證： 1 1 11223 nn? ? ? ???? ? *()nN? 證：（ 1）當(dāng) 1n? 時，左邊 =1，右邊 =2 不等式顯然成立。 例 設(shè) ,a b c R? ， 求證： 2 2 2a b c a b b c c a? ? ? ? ?． 證： 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )f a a b c a b b c c a a b c a b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 2 2 2 2( ) 4 ( ) 3 ( ) 0b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 因為 2a 的系數(shù)為 10? ， ? ( ) 0fa? ． 故 原不等式成立。 向量法 利用向量的數(shù)量積及不等式關(guān)系 |||| nmnm ??? 例 已知 a、 b、 c 都是正實數(shù)，求證 2222 cbaba cca bcb a ???????? ． 證明：設(shè) ),(ba cca bcb am ????， ),( bacacbn ???? ，則 2)(2 )(|| )(||2222222 cbacba cban nmmba cca bcb a ????? ???????????． 2222 cbaba cca bcb a ????????? ． 故原不等式成立。 證明：因?qū)τ谌我獾?Rx? ， 有 )()()( xhxgxf ?? ，且 )(xf ， )(xg 和 )(xh 均為增函數(shù)，所以有 ))(())(())(())(())(( xhhxhgxggxgfxff ???? ． 即 ))(())(())(( xhhxggxff ?? ． 故原不等式成立。 均值不等式是高考中一個重要知識點，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。 17 6 利用施瓦茨不等式證明 施瓦茨不等式：若 f 和 g 在 ],[ ba 上可積，則 dxxgdxxfdxxgxf bababa )()())()(( 222 ??? ??． 例 證明：若 f 在 ],[ ba 上可積，則 dxxfabdxxf baba )()())(( 22 ?? ?? ． 證明：根據(jù)施瓦茨不等式有： dxxfdxdxxfdxxf babababa )(1)1)(())(( 2222 ???? ???? dxxfab ba )()( 2??? ． 所以 dxxfabdxxf baba )()())(( 22 ?? ?? ． 故原不等式成立。)()( ???? fab afbf ． 即? abab ??? lnln ? abab ???ln而ab 111 ???， 故有a ababb ab ????? ?． 即 a ababb ab ???? ln ． 故原不等式成立。39。我從中明白了做每一件事，不必過于在乎最終的結(jié)果，可貴的是在做事過程中的收獲。在此，要特別向她道聲謝謝。也祝愿學(xué)校的每一位師長都幸福快樂?！贝髮W(xué)四年，但它給我的影響卻不能用時間來衡量，這四年來，我經(jīng)歷過的所有事，結(jié)交的所有人，都將是我以后生活中回味一輩子的寶貴精神財富，也是日后我為人處事的指南針。我想借此機會感謝四年來給我?guī)椭乃欣蠋煛⑼瑢W(xué)、家人、親戚，和你們之間的友誼是我人生的財富，是我生命中不可或缺的一部分。 總之，不等式的證明方法有很多，我們應(yīng)該在教學(xué)和學(xué)習(xí)中努力將這些 好的方法發(fā)揚光大，使我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)更加輕松。 19 8 利用詹森不等式證明 詹森不等式：若 f 為 ],[ ba 上凸函數(shù)，則對任意0],[ ?? ii bax ? 1),...,2,1(1 ?? ??ni ini ?，有 )()(11 ini iini i xfxf ?? ?? ? ??． 例 證明：不等式 cbacba cbaabc ???3)( ,其中 a ， b ， c 均為正數(shù)
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