【正文】 3b－ 4a2b＋ 5b－ 1 中， 2a2b 與 － 4a2b 是同類項， 3b 與 5b 是同類項。 合并同類項 （ 1） 概念：把同類項合并成一項叫做合并同類項。如 4a2＋ 7a2＝ (4＋ 7)a2＝ 11a2 B、如果兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，那么合并后的結(jié)果為 0。 例如，化簡 8a＋ 2b＋ (5a－ b)，括號內(nèi)的 5a 和 － b 不是同類項，不能合并，同時我們又看到 8a 和 5a， 2b和 — b 是同類項， 不去括號無法合并，所以必須先去括號才能合并同類項。 例 如 3x2－ x－ (2y－ 4m)＝ 3x2－ x－ 2y＋ 4m。例如，若百位上的數(shù)字是 a，十位上的數(shù)字為 b，個數(shù)上的數(shù)字為 c，則這個三位數(shù)可以表示為 100a＋ 10b＋ c。 善于類比，從不同事物中發(fā)現(xiàn)其相似或相同點(diǎn)。我們只能描述它是“一根繃緊的琴弦”或“一根拉得很緊的線”等。手電筒、探照燈所射出的光線可以近似地看做射線。筆直的鐵軌可以近似地看 做直線。 （ 2） 用一個小寫字母表示一條線段。 直線的表示方法 （ 1） 在直線上任取兩點(diǎn)，用表示這兩點(diǎn)的大寫字母表示這條直線。 【 說明 】① 表示線段、射線、直線時，都要在字母前面說明幾何圖形的名稱，如 “線段 CD” 、“射線 EF” 、 “ 直線 MN” 、 “ 線段 b” 、 “ 直線 m” 等。 經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，或者說，兩點(diǎn)確定一條直線。 一方有界 一方無限 1 個 無 直線 ①在直線上任取兩點(diǎn)，用表示這兩點(diǎn)的大寫字母表示這條直線； ②用一個小寫字母表示一條直線 。 三、比較兩條線段的長短 疊合法：即從形的角度來比較 比較兩條線段 AB、 CD 的長短，可以把它們移到同一條直線 l 上，使端點(diǎn) A 與端點(diǎn) C 重合，端點(diǎn) B 與端點(diǎn) D 位于點(diǎn) A（即點(diǎn) C）的同側(cè)。 ②運(yùn)用度量法比較線段的長短時，要盡量減小測量誤差。此時 AM＝ MN＝ NB＝ 13 AB。如圖 431 所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn) O，角的邊是射線 OA、 OB。 （ 2） 一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時，所成的角叫 做平角。 19 二 、角的表示 用三個大寫英文字母表示。 用一個數(shù)字表示，并在靠近頂點(diǎn)處畫上弧線。 【 說明 】 （ 1） 用三個大寫字母表示角，任何情況下都適用，但必須把頂點(diǎn)寫在中間。即 1176。； （ 3） 鈍角： 90176。 換算關(guān)系 1 周角 ＝ 2 平角 ＝ 4 直角 1 平角 ＝ 2 直角 二 、角的比較 疊合法 將兩個角的頂點(diǎn)及一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側(cè)，然后比較大小。 （ 2） n 邊形有 n 個頂點(diǎn)， n 條邊， n 個內(nèi)角。 （ 5） n 邊形 的邊數(shù)每增加 1 時，對角線的條數(shù)就增加 n－ 1。 （ 3） 一個圓可以分割成若干個扇形，這些扇形的面積之和等于圓的面積。 扇 形 的 弧 長 周 長 第 五 章 一元一次方程 第 1 節(jié) 認(rèn)識一元一次方程 一、 方程的 相關(guān) 概念 方程 ： 含有未知數(shù)的等式叫做方程，如 2x2+7x=5， 8x+7=0 等。 【 說明】 （ 1） 判斷一個式子是不是方程必須看兩點(diǎn)：一是等式，二是含有未知數(shù)。 基本性質(zhì) 2 等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不等于 0 的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。 【 說明 】（ 1） 移項的依據(jù)是等式的基本性質(zhì) 1。分析題中已知什么，求什么。 找：找等量關(guān)系。 解：解方程。 【例 1】 要鍛造一個直徑為 8cm，高為 4cm 的圓柱形零件，至少應(yīng)截取半徑為 2cm 的圓鋼多長？ 解：設(shè)至少應(yīng)截取半徑 2cm 的 圓鋼 x cm，由題意得 π x 解得 x＝ 16 答：至少應(yīng)截取半徑 2cm 的圓鋼 16 cm。 答：鐵絲長為 8π米，圓的面積大。 ② 標(biāo)價：即原價、定價，指在銷售時標(biāo)出的價格。 ⑥ 折扣：銷售價占標(biāo)價的百分比。 【例 2】在甲處工作的有 21 人，在乙處工作的有 12 人，現(xiàn)在調(diào)來 18 人分別派往甲、乙兩處，使甲處工作的人數(shù)是乙處工作人數(shù)的 2 倍，應(yīng)往甲、乙兩處各派去多少人？ 解：設(shè)調(diào)派往甲處去 x 人，則調(diào)派往乙處去 (18— x)人，根據(jù)題意得 調(diào)派前的人數(shù)（人） 調(diào)派去的人數(shù)（人） 調(diào)派后的人數(shù)（人） 甲處 21 x 21＋ x 乙處 12 18－ x [12＋ (18－ x)] 根據(jù)表格可列方程為 21＋ x＝ 2[12＋ (18－ x)] 解得 x＝ 13 所以 18－ x＝ 18－ 13＝ 5 答：應(yīng)該往甲、乙兩處分別派去 13 人、 5 人。 解法 2：設(shè)所得的學(xué)生票款為 x 元，則所得的成人票款為 (6950－ x)元，根據(jù)題意得 5x ＋ 69508 x－ ＝ 1000 解得 x＝ 1750 所以 1750247。 25 追趕小明（行程問題） （ 1） 相遇問題：甲走的路 程 ＋ 乙走的路 程 ＝ 二者開始時相距的路程 （ 2）追擊問題：速度快的走的路程 － 速度慢的走的路程 ＝ 二者開始時相距的路程 （ 3）環(huán)形跑道問題 ①甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地反向出發(fā)，再一次相遇時，兩人所走路程之和正好是環(huán)形跑道一圈兒的長度，即甲走的路程 ＋ 乙走的路程 ＝ 環(huán)形跑道的周長。 總體：所要考察對象的全 體稱為總體。 【說明】 樣本必須具有代表性和廣泛性才能估計總體的情況。 題號 總體 個體 樣本 （ 1） 我校學(xué)生每天參加課外體育活動的時間 每個學(xué)生每天參加課外體育活動的時間 所調(diào)查 20 名學(xué)生每天參加課外體育活動的時間 （ 2） 這批燈泡的使用壽命 每個燈泡的使用壽命 抽取的 10 只燈泡的使用壽命 【例 3】下列調(diào)查的樣本是否缺乏代表性，請說明理由。 （ 3）盡管樣本足夠大，但遺漏了其他城市這些群體，朝陽市不能代表全省 。360該 部 分 所 對 應(yīng) 的 扇 形 圓 心 角 的 度 數(shù) 100% （ 3） 扇形統(tǒng)計圖中各部分的百分比之和等于 1，即 100% 繪制 （ 1） 調(diào)查收集數(shù)據(jù) （ 2） 計算各部分占總體的百分比 （ 3） 計算各部分相應(yīng)的扇形 圓心角 的度數(shù) （ 4） 用圓規(guī)畫圓，再用量角器作出各圓心角，從而把圓分成若干個扇形 （ 5） 標(biāo) 明各部 分的名稱和百分比 （ 6） 填寫標(biāo)題 應(yīng)用 （ 1） 由扇形的大小及百分比的大小，確定各部分之間的大小差距。 28 【例 3】某校對學(xué)生上學(xué)方式進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，如圖 634 所示，已知被調(diào)查的學(xué)生中騎車的有 21 人，求：（ 1）被抽樣調(diào)查的學(xué)生共有多少人？（ 2）步行上學(xué)的人數(shù)是多少？ 解：（ 1） 由 統(tǒng)計圖上可知騎車是 35%，騎車的人數(shù)是 21 人，所以 21247。如圖 636 所示。 C、數(shù)據(jù)越多，分的組也應(yīng)越多。 2＝ ，所以分成 5 組較合適。 繪制 （ 1） 根據(jù)統(tǒng)計資料整理數(shù)據(jù)。 解：（ 1） 8485－ 7911＝ 574， 8640－ 8485＝ 155， 9598－ 8640＝ 958， 10937－ 9598＝ 1339，12384－ 10937＝ 1447，故 2021 年和 2021 年 朝陽 市城市居民人均可支配收入比上一年增加1000 元以上。 。 當(dāng)需要顯示出數(shù)據(jù)的變化趨勢時，宜選用折線統(tǒng)計圖。 （ 3） 根據(jù)數(shù)量的多少，在縱、橫軸的恰當(dāng)位置描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來。 分組 ～ ～ ～ ～ ～ 頻數(shù) 2 3 8 4 3 （ 5）繪制頻數(shù)直方圖（如圖 638 所示） 三 、折線統(tǒng)計圖 概念： 以折線的上升或下降來表示統(tǒng)計數(shù)量的增減變化的統(tǒng)計圖，叫作折線統(tǒng)計圖。 【例 2】 已知一個樣本： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 28，以 2 為組距，繪制頻數(shù)直方圖。 （ 3） 繪制： ① 計算所 給數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差 ② 決定組距和組數(shù) ③ 確定分點(diǎn) ④ 列頻數(shù)分布表，統(tǒng)計每組中數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù) ⑤ 繪制頻數(shù)直方圖 【 說明 】 A、在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)。如圖 635 所示。 解析：對物價水平表示認(rèn)可即是滿意的與尚可接受的，從圖中可得 ％ ＋ ％ =％． （ 2） 知道總體的具體數(shù)量及各部分所占百分比，求各部分的具體數(shù)量。 二 、比較“普查”與“抽樣調(diào)查” 調(diào)查方式 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 普查 可以直接獲取總體的情況 ① 有時總體中個體的數(shù)目較多，普查工作量較大；② 有時受客觀條件限制，無法對所有個體進(jìn)行普查； ③ 有時調(diào)查具有破壞性，不允許普查。 解：（ 1）大學(xué)生是一個特殊的群體，不能代表我國青年人。 （ 1）為了考察我校學(xué)生每天參加課外體育活動的時間，調(diào)查了其中 20 名學(xué)生每天參加課外體育活動的時間。 抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體，根據(jù)對這一部分個體的調(diào)查估計被考察對象的整體情況，這種調(diào)查方式叫做抽樣調(diào)查。 （ 4）航行問題：順?biāo)俣?＝ 靜水速 度 ＋ 水速 逆水速度 ＝ 靜水速 度 － 水速 第 六 章 數(shù)據(jù)的收集與整理 第 1 節(jié) 數(shù)據(jù)的收集 一、收集數(shù)據(jù)的方式 問卷調(diào)查 查閱資料 實(shí)地調(diào)查 試驗 【例 1】就以下統(tǒng)計目標(biāo)，你認(rèn)為選擇何種方式收集數(shù)據(jù)比較合適？ （ 1）班中 15 歲以上的學(xué)生人數(shù) （ 2）我國瀕臨滅絕的植物的數(shù)量 （ 3）某種玉米種子的發(fā)芽率 （ 4）七年級學(xué)生周日的睡眠時間 解：（ 1）實(shí)地調(diào)查 （ 2）查閱資料 （ 3）試驗 （ 4）問卷調(diào)查 二、收集數(shù)據(jù)的步驟 明確調(diào)查問題 確定調(diào)查對象 選擇調(diào)查方式 展開調(diào)查 記錄結(jié)果 得出結(jié)論 【 例 2】為了 更好地組織體育活動，體育委員調(diào)查一下班里同學(xué)喜歡哪些體育項目，以便活動前準(zhǔn)備好器械。 8＝ 650（張） 答：售出成人票 650 張，學(xué)生票 350 張。因此，設(shè)未知數(shù)時要有選擇。 【例 1】甲、乙兩人共 80 元，甲、乙錢數(shù)之比為 1： 3，求甲、乙兩人各有多少錢？ 解：設(shè)甲有 x 元錢，則乙有 3x 元錢，根據(jù)題意 得 x＋ 3x＝ 80 解得 x＝ 20 所以 3x＝ 3 20＝ 60 答：甲有 20 元錢，乙有 60 元錢。 ④ 利潤：在銷售商品的過程中的純收入。 【例 3】 甲水池有水 68 升，乙水池有水 36 升，兩個水池同時向外排水，每分鐘排出 4 升，多少分鐘后，甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的 3 倍？ 解：設(shè) x 分鐘后，甲水池剩下的水正 好是乙水池剩下水的 3 倍，根據(jù)題意得 68— 4x＝ 3(36— 4x) 解得 x＝ 5 答： 5 分鐘后，甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的 3 倍 。 【例 2】 用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和圓， 正方形 邊長比圓的半徑長 2(π－ 2)米，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算比較誰的面積大。 4＝ π 答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位）。 列：列方程。 設(shè)：設(shè)未知數(shù)。 二 、解一元一次方程的基本步驟 【說明】 解一元一次方程時，表中變形步驟不一定全部 都 有，也不一定按照自上而下的順序進(jìn)行，要根據(jù)方程的特點(diǎn)，靈活安排解題步驟。 目的：為了使同類項之間能進(jìn)行合并，使一 元一次方程變成“ ax＝ b(a≠ 0)”的形式。 （ 3） 判斷一個數(shù)是不是方程的解，只需把這個數(shù)代入方程，若方程的左邊等于右邊，則 這個數(shù)是方程的解，否則不是。 一元一次方程 只含有一個未知數(shù)， 且未知數(shù)的指數(shù)都是 1 的整式方程叫做一元一次方程。 （ 5） 圓心角的度數(shù) ＝ 360176。 二、 圓的初步認(rèn)識 【 說明 】（ 1） 圓心確定圓的位置，半徑確 定圓的大小。 （ 4） 從一個多邊形的同一個頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個多邊形分割成若干個三角形。 （ 1） 如果 EF 與 BC 也重合，如圖 441 所示，則 ∠ ABC與 ∠ DEF 相等，記作