【正文】 矩形的性質與判定、等腰三角形的性質與判定及勾股定理等知識點，利用面積法列出等式是解決問題的關鍵．9．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30176。由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是BCAC=22=2；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30176。利用AAS證明全等，則結論可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根據等腰三角形的性質可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊∴BC＝B39。C且∠DEA＝∠B39。∴∠AEF+∠DEC=90176。F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45176。若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系 時，仍有EF=BE+DF；(3)聯想拓展如圖3,在△ABC中,∠BAC=90176。至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90176?！螹AN=45176。+∠CAN=180176。﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN=（180176。=，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM=，∴EF=AM=2．點睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質定理和判定定理、相似三角形的性質定理和判定定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．14．已知點O是△ABC內任意一點，連接OA并延長到E，使得AE=OA，以OB，OC為鄰邊作?OBFC，連接OF與BC交于點H，再連接EF．（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，求證：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個結論是否成立？若成立，直接寫出結論即可；若不成立，請你直接寫出你的猜想結果；（3）如圖3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，請你直接寫出EF與BC之間的數量關系．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等邊三角形的性質得到AB=BC，AH⊥BC，根據勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四邊形的性質得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性質得到AB=BC，AH⊥BC，根據勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四邊形的性質得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性質和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根據勾股定理得到AH=BC，即可．試題解析：（1）連接AH，如圖1，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如圖2，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如圖3，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2）BC2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF=BC．考點：四邊形綜合題．15．（本題滿分10分）如圖1，已知矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，若將該紙片沿著過點B的直線折疊（折痕為BM），點A恰好落在CD邊的中點P處．（1）求矩形ABCD的邊AD的長．（2）若P為CD邊上的一個動點，折疊紙片，使得A與P重合，折痕為MN，其中M在邊AD上，N在邊BC上，如圖2所示．設DP＝x cm，DM＝y cm，試求y與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍．（3）①當折痕MN的端點N在AB上時，求當△PCN為等腰三角形時x的值；②當折痕MN的端點M在CD上時，設折疊后重疊部分的面積為S，試求S與x之間的函數關系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】試題分析：（1）根據折疊圖形的性質和勾股定理求出AD的長度；（2）根據折疊圖形的性質以及Rt△MPD的勾股定理求出函數關系式；（3）過點N作NQ⊥CD，根據Rt△NPQ的勾股定理進行求解；（4）根據Rt△ADM的勾股定理求出MP與x的函數關系式，然后得出函數關系式.試題解析：（1）根據折疊可得BP=AB=6cm CP=3cm 根據Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折疊可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）當點N在AB上，x≥3， ∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN為等腰三角形，只可能NC＝NP．過N點作NQ⊥CD，垂足為Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）當點M在CD上時，N在AB上，可得四邊形ANPM為菱形．設MP＝y，在Rt△ADM中，即∴ y=．∴ S=考點：函數的性質、勾股定理.。