【正文】 （ 2）各觀察值與其算術(shù)平均數(shù)之差的總和等于零； （ 3）若一組觀察值是由兩部分（或幾部分）組成，這組觀察值的算術(shù)平均數(shù)可以由組成部分算術(shù)平均數(shù)而求得； 二、算術(shù)平均數(shù)的應(yīng) 用及其優(yōu)缺點(diǎn) 算術(shù)平均數(shù)具備一個(gè)良好的集中量所應(yīng)具備的一些條件： （ 1）反應(yīng)靈敏。 （ 3）累積頻數(shù)和累積百分比多邊圖 第三章 集 中量 集中量是代表一組數(shù)據(jù)典型水平或幾種趨勢(shì)的量。 頻數(shù)分布圖 常用的頻數(shù)分布圖有直方圖、多邊圖和累積多邊圖。它主要是用來(lái)比較性質(zhì)相似的間斷性資料。 標(biāo)目 對(duì)于有縱橫軸的統(tǒng)計(jì)圖，應(yīng)在縱橫軸上分別標(biāo)明統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目及其尺度。 第三節(jié) 統(tǒng)計(jì)圖 一、統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)及其繪制規(guī)則 統(tǒng)計(jì)圖由標(biāo)題、圖號(hào)、標(biāo)目、圖形、圖注等項(xiàng)構(gòu)成。 復(fù)合表 按兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)志分組的統(tǒng)計(jì)表為復(fù)合表。 數(shù)字 表內(nèi)數(shù)字必須準(zhǔn)確，一律用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，位次對(duì)齊，小數(shù)的位數(shù)一致。 標(biāo)題 標(biāo)題是表的名稱(chēng)，應(yīng)確切地、簡(jiǎn)明 扼要地說(shuō)明表的內(nèi)容。數(shù)量類(lèi)別是按數(shù)值大小進(jìn)行分類(lèi)，并排成順序。 分類(lèi)的標(biāo)志按形式劃分，可分為性質(zhì)類(lèi)別和數(shù)量類(lèi)別。數(shù)據(jù)的單位之間可以再劃分成無(wú)限多個(gè)細(xì)小的單位。 間斷性隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)和連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)據(jù) 取值個(gè)數(shù)有限的數(shù)據(jù)，稱(chēng)為間斷性隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的種類(lèi)不同，統(tǒng)計(jì)處理的方法也不同。總體上的各種數(shù)字特征是參數(shù)。樣本中包含的個(gè)體數(shù)目稱(chēng)為樣本的容量，一般用 n 來(lái)表示?？傮w中的每個(gè)單位成為個(gè)體。隨機(jī)現(xiàn)象的每一種結(jié)果叫做一個(gè)隨機(jī)事件。其中包括選擇怎樣的抽樣方式；如何計(jì)算樣本容量；確定怎樣的實(shí)驗(yàn)對(duì)照形式；如何實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的等組化；如何安排實(shí)驗(yàn)因素和如何控制無(wú)關(guān)因素；用什么統(tǒng)計(jì)方法處理及分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，等等。 1．描述統(tǒng)計(jì) 對(duì)已獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、概括，顯示其分布特征的統(tǒng)計(jì)方法，稱(chēng)為描述統(tǒng)計(jì)。它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理和方法在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，如數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理和方法應(yīng)用到工業(yè)領(lǐng)域，稱(chēng)為工業(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)；應(yīng)用到醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，稱(chēng)為醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)；應(yīng)用到心理學(xué)領(lǐng)域，稱(chēng)為心理統(tǒng)計(jì)學(xué)，等等。一類(lèi)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。華東師大心理統(tǒng)計(jì)學(xué)大綱 教材：《教育統(tǒng)計(jì)學(xué)》（王孝玲編著，修訂版）華東師范大學(xué)出版社 1993 年 6 月第一版 第一章 緒論 第一節(jié) 什么是統(tǒng)計(jì)學(xué)和心理統(tǒng)計(jì)學(xué) 一、什么是統(tǒng)計(jì)學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究統(tǒng)計(jì)原理和方法的科學(xué)。它主要是以概率論為基礎(chǔ)，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系的模式加以解釋?zhuān)瑢?duì)統(tǒng)計(jì)原理和方法給予數(shù)學(xué)的證明。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)是與研究對(duì)象密切結(jié)合的各科專(zhuān)門(mén)統(tǒng)計(jì)學(xué)。 2． 推斷統(tǒng)計(jì) 根據(jù)樣本所提供的信息，運(yùn)用概率的理論進(jìn)行分析、論證，在一定可靠程度上，對(duì)總體分布特征進(jìn)行估計(jì)、推測(cè)，這種統(tǒng)計(jì)方法稱(chēng)為推斷統(tǒng)計(jì)。 以上三部分內(nèi)容，不是截然 分開(kāi)，而是相互聯(lián)系的。我們把能表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量。樣本是從總體中抽取的作為觀察對(duì)象的一部分個(gè)體。一般來(lái)說(shuō)，樣本中個(gè)體數(shù)目大于 30 稱(chēng)為大樣本，等于或小于 30 稱(chēng)為小樣本。在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，就是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)推斷總體相應(yīng)的參數(shù)。 根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)源可分為點(diǎn)計(jì)數(shù)據(jù)和度量數(shù)據(jù)；按隨機(jī)變量取值情況，可分為間斷性隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)和連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)。這種數(shù)據(jù)的單位是獨(dú)立的，兩個(gè)單位之間不能劃分成細(xì)小的單位，一般用整數(shù)表示。數(shù)據(jù)可以用小數(shù)表示。性質(zhì)類(lèi)別是按事物的不同性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)。在排列順序時(shí)，可以直接按數(shù)值大小進(jìn)行排列，也可以用等級(jí)順序進(jìn)行排列。 表號(hào) 表號(hào)是表的序號(hào)。 表注 它不是表的必要組成部分。 三、頻數(shù)分布表 列法 簡(jiǎn)單頻數(shù)分布表 （ 1）間斷變量的頻數(shù)分布表 （ 2）連續(xù)變量的頻數(shù)分布表 步驟：①求全距 ②決定組數(shù)和組距 ③決定組限決定組限 ④登記頻數(shù) 累積頻數(shù)和累積百分比分布表 （ 1）累積頻數(shù)分布表 用累積頻數(shù)表示的頻數(shù)分布表稱(chēng)為累積頻數(shù)分布表。下 面按其構(gòu)成部分說(shuō)明繪圖的基本規(guī)則。 圖形 圖形線在圖中為最粗，而且要清晰。 圓形圖 圓形圖是用來(lái)表示間斷性資料構(gòu)成比的圖形。 （ 1）直方圖 直方圖用面積表示頻數(shù)分布。它能反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況。 （ 2）嚴(yán)密確定。 除此之外，算數(shù)平均數(shù)還有幾個(gè)特殊的優(yōu)點(diǎn)： （ 1）只知一組觀察值的總和及總頻數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn)： （ 1）易受兩極端數(shù)值（極大或極小）的影響。 頻數(shù)分布表計(jì)算法 若一組原始數(shù)據(jù)已經(jīng)編成了頻數(shù)分布表，可用內(nèi)插法，通過(guò)頻數(shù)分布表計(jì)算中位數(shù)。 四、中位數(shù)的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn) 中位數(shù)雖然也具備一個(gè)良好的集中量所應(yīng)具備的某些條件，例如比較嚴(yán)格確定、簡(jiǎn)明易懂，計(jì)算簡(jiǎn)便，受抽樣變動(dòng)影響較小，但是它不適合進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算。理論眾數(shù)是指與頻數(shù)分布曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)。 (2)金氏 ()插補(bǔ)法 當(dāng)頻數(shù)分布呈偏態(tài)，即眾數(shù)所在組以上各組頻數(shù)總和與以下各組頻數(shù)總和相差較多時(shí)，可以用金氏公式計(jì)算眾數(shù)，以進(jìn)行比率調(diào)整。 第四節(jié) 加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù) 一、加權(quán)平均數(shù) 加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。 當(dāng)一個(gè)數(shù)列的后一個(gè)數(shù)據(jù)是以前一個(gè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)成比例增長(zhǎng)時(shí)，要用幾何平均數(shù)求其平均增長(zhǎng)率。 第三節(jié) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念 方差是指離差平方的算術(shù)平均數(shù)。其定義公式為（ ），計(jì)算公式是（ ）。 所謂差異系數(shù)是指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比。 第五節(jié) 偏態(tài)量及峰態(tài)量 偏態(tài)量及峰態(tài)量是用以描述數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計(jì)量。其公式為（ ）。其公式為（ ）。 2．先驗(yàn)概率的定義 先驗(yàn)概率是通過(guò)古典概率模型加以定義的，故又稱(chēng)為古典概率。 三、概率的加法和乘法 概率的加法 在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)出現(xiàn)的事件稱(chēng)為互不相容的事件。 兩個(gè)獨(dú)立事件的概率，等于這兩個(gè)事件概 率的乘積。 用 n 次方的二項(xiàng)展開(kāi)式來(lái)表達(dá)在 n 次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)不同次數(shù)（ X=0,1,?,n ）的概念分布叫做二項(xiàng)分布。當(dāng) n趨近于無(wú)限大時(shí)，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限。 第三節(jié) 正態(tài)分布 正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。 （ 2）曲線以 Z=0處為中心，雙側(cè)對(duì)稱(chēng)。 二、正態(tài)曲線的面積與縱線 累積正態(tài)分布函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面積的求法 正態(tài)曲線的縱線 三、正態(tài)分布在測(cè)驗(yàn)計(jì)分方面的應(yīng)用 將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的意義：第一，各科標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的單位是絕對(duì)等價(jià)的；第二、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的正負(fù)和大小可以反映出考生在全體考分中所處的地位。 二、平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理 從總體中隨機(jī)抽出容量為 n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。 3．從正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取的容量為 n的一切 可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。 總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的無(wú)偏估計(jì)量 S等于樣本統(tǒng)計(jì)量 σx 乘以貝賽耳氏校正數(shù)，公式（ ）。區(qū)別之處在于： t分布的形態(tài)隨自由度（ df=n1）的變化呈一簇分布形態(tài)（即自由度不同的 t分布形態(tài)也不同，見(jiàn)圖 ）。 區(qū)間估計(jì) 以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定概率要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，稱(chēng)為總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。 三、σ未知條件下總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì) σ 未知條件下總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)的基本原理 當(dāng)總體σ未知，總體呈正態(tài)分布，樣本容量無(wú)論大小時(shí)，或者當(dāng)總體σ未知，總體雖不呈正態(tài)分布，但樣本容量較大（ n 30）時(shí)，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量均呈 t分布。 一、假設(shè) 假設(shè)檢驗(yàn)一般有兩個(gè)相互對(duì)立的假設(shè)。小概率事件是否出現(xiàn)，這是對(duì)假設(shè)作出決斷的依據(jù)。而零假設(shè)遭到拒絕，這時(shí)就會(huì)犯第一類(lèi)型的錯(cuò)誤。 要使第一類(lèi)錯(cuò)誤 的概率保持在需要的水平上，而控制第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率，有以下方法：（ 1）利用已知的實(shí)際總體參數(shù)與假設(shè)參數(shù)值之間的大小關(guān)系，合理安排拒絕領(lǐng)域的位置，選擇雙側(cè)檢驗(yàn)還是單側(cè)檢驗(yàn)，左側(cè)檢驗(yàn)還是右側(cè)檢驗(yàn)；（ 2）加大樣本容量。 （ 2）根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試一一匹配成對(duì)，然后將每對(duì)被試隨機(jī)地分入實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，對(duì)兩組被試施行不同的實(shí)驗(yàn)處理之后，用同一測(cè)驗(yàn)所獲得的測(cè)驗(yàn)結(jié)果，也是相關(guān)樣本。 一、獨(dú)立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn) 兩個(gè)樣本容量 n1 和 n1都大于 30 的獨(dú)立樣本稱(chēng)為獨(dú)立大樣本。 方差不齊性時(shí) 對(duì)于方差不齊性的兩個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)，需要用校正的 t39。 F分布的形態(tài)隨F 比值分子和分母中自由度的變化而形成一簇正偏態(tài)分布。 第八章 方差分析 第一節(jié) 方差分析的基本原理 一、方差分析的目的 方差分析的基本功能就在于它對(duì)多組平均數(shù)差異的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的作用。只有一個(gè)自變量的實(shí)驗(yàn)稱(chēng)為單因素實(shí)驗(yàn)。 第二節(jié) 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析 為了檢驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)因素多種不同水平間的差異的顯著性，將從同一個(gè)總體中隨機(jī)抽取的被試，再隨機(jī)地分入各實(shí)驗(yàn)組，施以各種不同的實(shí)驗(yàn)處理以后，用方差分析法對(duì)這多個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，稱(chēng)為完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析。 第三節(jié) 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析 用方差分析法對(duì)多個(gè)相關(guān)樣本平均數(shù)差異所進(jìn)行的顯著性檢驗(yàn)，稱(chēng)之為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析 每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)分配有以下三種方式： （ 1）一個(gè)被試作為一個(gè)區(qū)組； （ 2）每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)是實(shí)驗(yàn)處理數(shù)的整數(shù)倍； （ 3）區(qū)組內(nèi)以一個(gè)團(tuán)體為一個(gè)基本單元。 二、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的 q檢驗(yàn) 公式（ ）。 二、雙因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析的基本方法 計(jì)算時(shí)使用公式（ ） （ ）和第 204205頁(yè)上的公式。 二、比率的抽樣分布 比率的抽樣分布是二項(xiàng)分布。 二、查表法 用附表 6。 如果兩個(gè)獨(dú)立樣本的最小頻數(shù)都等于或大于 5，兩個(gè)樣本比率之差的抽樣分布也接近于正態(tài)，于是可用Z 檢驗(yàn)兩個(gè)比率之差的顯著性。即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來(lái)推斷總體的 分布。 二、卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量 卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的基本形式為公式（ ）。 三、χ 2的抽樣分布 χ 2 分布有以下幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1） χ2 分布呈正偏態(tài)，右側(cè)無(wú)限延伸，但永不與基線相交。對(duì)于單向表的數(shù)據(jù)所進(jìn)行的卡方檢驗(yàn)就是單向表的卡方檢驗(yàn)，即單因素的卡方檢驗(yàn)。 在雙向表的卡方檢驗(yàn)中，如果要判斷兩種分類(lèi)特征，即兩個(gè)因素之間是否有依從關(guān)系，這種檢驗(yàn)稱(chēng)為獨(dú)立性卡方檢驗(yàn)。 第四節(jié) 四格表的卡方檢驗(yàn) 一、獨(dú)立樣本四格表的卡方檢驗(yàn) 獨(dú)立樣本四格表的卡方檢驗(yàn)，就是雙向表中 2*2 表的卡方檢驗(yàn)。其校正公式為（ ）。 第十一章 相關(guān)分析 第一節(jié) 相關(guān)的意義 一、相關(guān)的概念 兩個(gè)變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系。它不是由相等單位度量而來(lái)（即不等距），也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除。 一、回歸線 一條最能代表散點(diǎn)圖上分布趨勢(shì)的直線，這條最優(yōu)擬合線即稱(chēng)為回歸線。 公式（ ）或（ ）。可以用公式（ ）或公式（ ）進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 和一元線性回歸方程一樣，二元線性回歸方程也用最小二乘法來(lái)確定回歸系數(shù)。 （一） 二元線性回歸的檢驗(yàn) 二元線性回歸方程的顯著性有兩種等效的檢驗(yàn)方法：一是方差分析，二是復(fù)相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)。 三、多元線性回歸方程中自變量的選擇 對(duì)所有可能的回歸方程逐一檢驗(yàn)，選擇一個(gè)顯著性程度最強(qiáng)的方 程。 在實(shí)際研究工作中，樣本所屬的總體分布形態(tài)一般是未知的，所獲得的資料也不一定是等距變量或比率變 量，因此需要采用新的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。 第一節(jié) 符號(hào)檢驗(yàn) 符號(hào)檢驗(yàn)是通過(guò)多兩個(gè)相關(guān)樣本的每對(duì)數(shù)據(jù)之差的符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)）進(jìn)行檢驗(yàn)，以比較這兩個(gè)樣本差異的顯著性。 一、小樣本的情況 當(dāng)樣本容量 n 25 時(shí)，可用查表法進(jìn)行符號(hào)秩次檢驗(yàn)。 第三節(jié) 秩和檢驗(yàn) 當(dāng)比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的差異時(shí)，可以采用曼 惠特尼（ MannWhitney）兩人提出的秩和檢驗(yàn)方法。公式（ ）。它相當(dāng)于對(duì)多組平均數(shù)所進(jìn)行的參數(shù)的方差分析。 如果各組有顯著性差異，在各組容量相等的情況下，各組秩次和應(yīng)當(dāng)相等或趨于相等；如果各組秩次和相差較大，那么各組有顯著性差異的可能性較大。雙 向秩次方差分析是在同一個(gè)對(duì)象（或匹配的對(duì)象）接受 k 次實(shí)驗(yàn)處理所獲得原始數(shù)據(jù)之間編秩次。 第十四章 抽樣設(shè)計(jì) 第一節(jié) 抽樣方法 一、單純隨機(jī)抽樣 如果總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的，并且在抽取一個(gè)個(gè)體之后總體內(nèi)成分不變（抽樣的獨(dú)立性），這種抽樣方法稱(chēng)為單純隨