【正文】 必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值。4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。在閉域G上連續(xù)。定義增量。我們有下面的結(jié)果: 定理1 若累次極限都存在,則三者相等（證明略）。例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何,當(dāng)時(shí),。解由于理知且,所以根據(jù)夾逼定.例7 研究函數(shù)在點(diǎn)處極限是否存在。解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知,所以。這是判斷多 一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。在閉域G上連續(xù)。定義增量。我們有下面的結(jié)果:定理1 若累次極限都存在,則三者相等（證明略）。例8設(shè)函數(shù)極限都不存在,因?yàn)閷θ魏?當(dāng)時(shí),。解由于理知且,所以根據(jù)夾逼定.例7研究函數(shù)在點(diǎn)處極限是否存在。解由于,而,根據(jù)夾逼定理知,所以。這是判斷多一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。第一篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)167。注意：點(diǎn)P趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無窮多種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖87）。例如若有, 其中。a≠0)。解當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限不存在,但,。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次的第二項(xiàng)不存在極限；同理對任何時(shí), 的第 一項(xiàng)也不存在極限,但是因此。推論若但不相等,則二重極限不存在和二重極限,由于,存在。為函數(shù)(值)對x的偏二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為偏增量。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于二元函數(shù)也相應(yīng)成立。第二篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)167。注意：點(diǎn)P趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無窮多種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖87）。例如若有, 其中。a≠0)。解 當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限不存在,但 ,。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次的第二項(xiàng)不存在極限；同理對任何 時(shí), 的第 一項(xiàng)也不存在極限,但是因此。推論 若但不相等,則二重極限不存在和二重極限, 由于, 存在。為函數(shù)(值)對x的偏二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為偏增量。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱 關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于二元函數(shù)也相應(yīng)成立。第三篇： 二元函數(shù)的極限與連續(xù)第6章 多元微分學(xué)教學(xué)目的：1．理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。5．掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。9．會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。R={(x,y)x,y206。R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種:(1)內(nèi)點(diǎn)：如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P), 使得U(P)204。, 則稱P為E的ooo外點(diǎn)。 而E的邊界點(diǎn)可能屬于E, 也可能不屬于E.聚點(diǎn)：如果對于任意給定的d0, 點(diǎn)P的去心鄰域U(P,d)內(nèi)總有E中的點(diǎn), 則稱P是E的聚點(diǎn).由聚點(diǎn)的定義可知, 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)P本身, 可以屬于E, 也可能不屬于E。 滿足x2+y2=2的一切點(diǎn)(x, y)也是E的邊界點(diǎn), 它們都屬于E。2}. 集合{(x, y)|1x+y163。U(O, r), 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn), 則稱E為有界點(diǎn)集.無界集: 一個(gè)集合如果不是有界集, 就稱這集合為無界集.例如, 集合{(x, y)|1163。1}是無界閉區(qū)域.*5. n維空間設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù), 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1, x2, , xn)的全體所構(gòu)成的集合, 即Rn=R180。R, i=1, 2, , n}. nR中的元素(x1, x2, , xn)有時(shí)也用單個(gè)字母x來表示, 即x=(x1, x2, , xn). 當(dāng)所有的xi(i=1, 2, , n)都為零時(shí), 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為023或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標(biāo), R(或R)中的元素分別與平面(或空間)中的點(diǎn)或向量建立一一對應(yīng), 因而Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量, xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標(biāo)原點(diǎn)或n維零向量.為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系, 在Rn中定義線性運(yùn)算如下:o 設(shè)x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)為Rn中任意兩個(gè)元素, l206。a .顯然, x174。a2, , xn174。 Rn, r(x, a)d} 就定義為Rn中點(diǎn)a的d鄰域. 以鄰域?yàn)榛A(chǔ), 可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn), 以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念.6．1．2 多元函數(shù)的概念例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系V =pr2h.這里, 當(dāng)r、h在集合{(r , h)| r0, h0}內(nèi)取定一對值(r , h)時(shí), V對應(yīng)的值就隨之確定.例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系 p=RT,V其中R為常數(shù). 這里, 當(dāng)V、T在集合{(V ,T)| V0, T0}內(nèi)取定一對值(V, T)時(shí), p的對應(yīng)值就隨之確定.例3 設(shè)R 是電阻RR2并聯(lián)后的總電阻, 由電學(xué)知道, 它們之間具有關(guān)系 R=R1R2R1+R2. 這里, 當(dāng)RR2在集合{(R1, R2)| R10, R20}內(nèi)取定一對值(R1 , R2)時(shí), R的對應(yīng)值就隨之確定.定義1：設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集, 稱映射f:D174。D}.函數(shù)的其它符號: z=z(x,y), z=g(x,y)=f(x, y, z),(x, y, z)206。D, 也可記為：u=f(P), P(x1, x2, , xn)206。D}稱為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面.例如 z=ax+by+c是一張平面, 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.6．1．3 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似, 如果在P(x,y)174。U(P0,d)時(shí), 都有 f(P)A=f(x,y)Aeo成立, 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)174。(x0,y0)), limf(P)=A或f(P)174。(0,0)limf(x,y)=0.1x+y220| =|x+y||sin221x+y22| 163。(0,0)f(x,y)=0。2（i）函數(shù)f(x,y)=237。(0,0)f(x,y)=limf(x, 0)=lim0=0。(0,0)f(x,y)=limf(0, y)=lim0=0.y174。0x+kx=k1+k2.因此, 函