【正文】 連續(xù). 由P0的任意性知, sinx作為x,y的二元函數(shù)在R2上連續(xù).類似的討論可知, 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時, 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.定義4:設函數(shù)f(x,y)的定義域為D,P0(x0,y0)是D的聚點. 如果函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)不連續(xù), 則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點.236。0239。x+y,22239。0 x+y=0其定義域D=R2,O(0, 0)是D的聚點. f(x,y)當(x, y)174。1}, 圓周C={(x, C上沒有定義, 當然f(x,y)在y)|x2+y2=1}上的點都是D的聚點, 而f(x,y)在C上各點都不連續(xù), 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點.注: 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點.可以證明, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。 多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).多元初等函數(shù): 與一元初等函數(shù)類似, 多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù), 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而得到的.例如x+x2y221+y, sin(x+y), ex2+y2+z2都是多元初等函數(shù).一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性, 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P0處的極限, 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi), 則limf(P)=f(P0)。p0例8：求lim(x,y)174。0,y185。D,而任何鄰域都是區(qū)域, 所以U(P0)是f(x,y)的一個定義區(qū)域, 因此(x,y)174。P0點, 則f(P)在點P0處連續(xù), 于是limf(P)=f(P0).P174。(0, 0)xy+11xy.(xy+11)(xy+1+1)xy(xy+1+1)解: lim(x,y)174。(0, 0)=lim(x,y)174。D,有f(P)163。D,使得f(P1)=max{f(P)P206。f(P2)=min{f(P)P206。ax2+x+2x1設函數(shù)f(x)=237。1x174。2ax+ba=1，b=41sin2x246。lim231。=2x174。232。k246。1247。165。x248。1x1設函數(shù)f(x)=2x+sinx1,g(x)=kx，當x174。ex2x163。函數(shù)f(x)=237。1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(oo,1),(1,+oo)239。236。xsinx239。239。xsin+bx238。1f(x,y)=x2+y2xycosx，則f(0,1)=f(t,1)=y1f(xy,xy)=x2+y2，則f(x,y)=y^2+x1函數(shù)z=ln(2x2y2)+的定義域為 {(x,y)|1=0}11e2xylim=1=2；(x,y)174。(0,0)1+x2+y2x2y2lim3=12；lim(12xy)x=1x174。0二、計算題求下列極限（1）00型：1）limexex2xx174。0x1e2x。01cos2x。0xsin2x2。165。0+lnsin2x=1lim2n+1+3n+12）n174。2n+3n=3（3）165。型：1）lim230。x174。232。248。x174。11246。x1lnx247。=1/23)xlim174。arccosx)=π/34)xlim174。x)=1 x174。2（4）0165。p246。arctanx247。+165。2248。1px2=π/2（5）1165。2246。1247。165。x248。3x1246。247。165。248。0 =e^(4)=e^(2/5)1sin5x1246。4)lim231。=e^(1/2)x174。x248。（6）00型：1）lim+xsinx=1 x174。型：1）lim(x+20xx174。)1x=2同上已知：f(x)=sin2x+ln(13x)+2limf(x)，求f(x) x174。2xx1駐點x=0,x=1,x=11）當x=0+時，f(x)=1；當x=0時，f(x)=1 跳躍間斷點2）當x=1時，f(x)=oo。但f(1)不存在，所以x=1是可去間斷點236。x239。設函數(shù)f(x)=237。ln1+bx)239。238。（存在性與唯一性）證明：1）存在性：令f(x)=x^33x^29x+1f(0)=10。第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案第四講Ⅰ 授課題目（章節(jié)）：函數(shù)的連續(xù)性Ⅱ 教學目的與要求：正確理解函數(shù)在一點連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學重點與難點：重點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，間斷點，初等函數(shù)的連續(xù)性難點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)Ⅳ 講授內(nèi)容：一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量定義1設變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1u0，稱為變量u的增量，或稱為u的改變量，記為Du，即Du=u1u0Dx=x1x0Dy=f(x0+Dx)f(x0)函數(shù)的連續(xù)性定義2 設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量的增量Dx趨近于零時，相應函數(shù)的增量Dy也趨近于零，即limDy=0或 Dx174。0limf(x0+Dx)f(x0)=0則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)2例1 用連續(xù)的定義證明y=3x1在點x0=2處是連續(xù)的證明 略若令x=Dx0+x則當Dx174。x0又Dy=f(x0+Dx)f(x0)即f(x)=f(x0)+Dy故Dy174。f(x0)因而limDy=0可以改寫成limf(x)=f(x0)Dx174。x0定義3 設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若x174。x0（3）limf(x)=f(x0)x174。sinx,x185。例2 考察函數(shù)f(x)=237。1,x=0238。x0若limf(x)=f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點右連續(xù) x174。,+165。x0（3）limf(x)185。x02間斷點的分類236。左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在239。間斷點237。左右極限不相等（跳躍間斷點）239。236。0例4考察函數(shù)f(x)=237。0,x=0解 略例5考察函數(shù)f(x)=237。1239。0例6考察函數(shù)f(x)=237。0,x=0238。x,x163。x+1,x0在x=0處得連續(xù)性解 略三 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x174。[a,b]，使得f(x)=C定理3（零點定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點x206