【正文】 理能力與計算能力，屬于中檔題． 7．已知函數(shù) f（ x） =Asin（ ωx+φ）（ A， ω， φ 為常數(shù)， A＞ 0， ω＞ 0， |φ|＜ π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．函數(shù) f（ x）的最小正周期為 B．直線 x=﹣ 是函數(shù) f（ x）圖象的一條對稱軸 C．函數(shù) f（ x）在區(qū)間 [﹣ ， ]上單調(diào)遞增 D．將函數(shù) f（ x）的圖象向左平移 個單位，得到函數(shù) g（ x）的圖象，則 g（ x）=2sin2x 【考點】 H2：正弦函數(shù)的圖象． 【分析】 先求出函數(shù)的解析式，再進行判斷，即可得出結(jié)論． 【解答】 解：根據(jù)函數(shù) f（ x） =Asin（ ωx+φ）（ A， ω， φ 為常數(shù)， A＞ 0， ω＞ 0，|φ|＜ π）的部分圖象， 可得 A=2，圖 象的一條對稱軸方程為 x= = ，一個對稱中心為為（ ，0）， ∴ = = ， ∴ T= ， ∴ ω=2， 代入（ ， 2）可得 2=2sin（ 2 +φ）， ∵ |φ|＜ π， ∴ φ=﹣ ， ∴ f（ x） =2sin（ 2x﹣ ），將函數(shù) f（ x）的圖象向左平移 個單位，可得 g（ x） =2sin[2（ x+ ）﹣ ]=2sin2x， 故選： D． 【點評】 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵． 8．中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？ ”人們把此類題目稱為 “中國剩余定理 ”，若正整數(shù) N 除以正整數(shù) m 后的余數(shù)為 n，則記為 N=n（ modm），例如 11=2（ mod3）．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的 n等于（ ） A． 21 B． 22 C． 23 D． 24 【考點】 EF：程序框圖． 【分析】 該程序框圖的作用是求被 3 和 5 除后的余數(shù)為 2 的數(shù)，根據(jù)所給的選項， 得出結(jié)論． 【解答】 解：該程序框圖的作用是求被 3 除后的余數(shù)為 2，被 5 除后的余數(shù)為 3的數(shù)， 在所給的選項中，滿足被 3 除后的余數(shù)為 2，被 5 除后的余數(shù)為 3 的數(shù)只有 23， 故選： C． 【點評】 本題主要考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 9．對于四面體 A﹣ BCD，有以下命題： ① 若 AB=AC=AD，則點 A 在底面 BCD內(nèi)的射影是 △ BCD 的外心； ② 若 AB⊥ CD， AC⊥ BD，則點 A 在底面 BCD 內(nèi)的射影是 △ BCD 的內(nèi)心； ③ 四面體 A﹣ BCD 的四個面中最多有四個直角三角形；④ 若四面體 A﹣ BCD 的 6 條棱長都為 1，則它的內(nèi)切球的表面積為 ．其中正確的命題是（ ） A． ①③ B． ③④ C． ①②③ D． ①③④ 【考點】 2K：命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】 對于 ① ，根據(jù)射影的定義即可判斷； 對于 ② ，根據(jù)三 垂線定理的逆定理可知， O 是 △ BCD 的垂心， 對于 ③ 在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數(shù)， 對于 ④ 作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明 OE 是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積． 【解答】 解：對于 ① ，設(shè)點 A 在平面 BCD 內(nèi)的射影是 O，因為 AB=AC=AD，所以 OB=OC=OD， 則點 A 在底面 BCD 內(nèi)的射影是 △ BCD 的外心，故 ① 正確； 對于 ② 設(shè)點 A 在平面 BCD 內(nèi)的射影是 O，則 OB 是 AB 在平面 BCD 內(nèi)的射影，因為 AB⊥ CD，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知： CD⊥ OB 同理可證 BD⊥ OC，所以 O 是 △ BCD 的垂心，故 ② 不正確； 對于 ③ ：如圖：直接三角形的直角頂點已經(jīng)標出，直角三角形的個數(shù)是 4．故 ③正確 對于 ④ ，如圖 O 為正四面體 ABCD 的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為： 1； 所以 OE 為內(nèi)切球的半徑， BF=AF= ， BE= ， 所以 AE= = ， 因為 BO2﹣ OE2=BE2， 所以（ ﹣ OE） 2﹣ OE2=（ ） 2， 所以 OE= ， 所以球的表面積為： 4π?OE2= ，故 ④ 正確． 故選 D． 【點評】 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想 象能力，是中檔題． 10．對于 n 個向量 ， ， ， … ， ，若存在 n 個不全為 0 的示數(shù) k1， k2，k3， … ， kn，使得： k1 +k2 +k3 +… +kn = 成立；則稱向量 ， ， ， … ，是線性相關(guān)的，按此規(guī)定，能使向量 =（ 1， 0）， =（ 1，﹣ 1）， =（ 2，2）線性相關(guān)的實數(shù) k1， k2， k3，則 k1+4k3的值為（ ） A．﹣ 1 B． 0 C． 1 D． 2 【考點】 9F：向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義． 【分析】 由線性相關(guān)的定義可得 k1 +k2 +k3 = ，從而可得 k1+k2+2k3=0，﹣ k2+2k3=0，問題得以解決． 【解答】 解：由于向量 =（ 1， 0）， =（ 1，﹣ 1）， =（ 2， 2）線性相關(guān)， 所以 k1 +k2 +k3 = ， 即 k1（ 1， 0） +k2（ 1，﹣ 1） +k3（ 2， 2） = ， 即（ k1+k2+2k3，﹣ k2+2k3） = ， 所以 k1+k2+2k3=0，﹣ k2+2k3=0， 所以 k1+4k3=0， 故選： B． 【點評】 本題考查平面向量的坐標運算，屬基礎(chǔ)題． 11．已知定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x），滿足 f（ x+4） =f（ x），且 x∈ [0， 2]時，f（ x） =sinπx+2|sinπx|，則方程 f（ x）﹣ |lgx|=0 在區(qū)間 [0， 10]上根的個數(shù)是（ ） A． 17 B． 18 C． 19 D． 20 【考點】 54：根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】 由已知寫出分段函數(shù)，然后畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案． 【解答】 解： f（ x） =sinπx+2|sinπx|= ， 由 f（ x+4） =f（ x），可知 f（ x）是以 4 為周期的周期函數(shù)， 方程 f（ x）﹣ |lgx|=0 即 f（ x） =|lgx|，方程的根即為兩函數(shù) y=f（ x）與 y=|lgx|圖象交點的橫坐標， 作出函數(shù)圖象如圖： 由圖可知，方程 f（ x）﹣ |lgx|=0 在區(qū)間 [0， 10]上根的個數(shù)是 19． 故選： C． 【點評】 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié) 合的解題思想方法，是中檔題． 12．拋物線 y2=2px（ p＞ 0）的焦點為 F，其準線經(jīng)過雙曲線 ﹣ =1（ a＞ 0，b＞ 0）的左焦點，點 M 為這兩條曲線的一個交點，且 |MF|=p，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． 2 C． D． +1 【考點】 KC：雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】 確定拋物線 y2=2px（ p＞ 0）的焦點與準線方程，利用點 M 為這兩條曲線的一個交點，且 |MF|=p，求 出 M 的坐標，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論． 【解答】 解：拋物線 y2=2px（ p＞ 0）的焦點為 F（ ， 0），其準線方程為 x=﹣ ， ∵ 準線經(jīng)過雙曲線 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左焦點， ∴ c= ； ∵ 點 M 為這兩條曲線的一個交點，且 |MF|=p，