新人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-3232離散型隨機變量的方差-wenkub
2022-12-01 03:12:05 本頁面
【正文】 批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示： A機床 B機床 次品數(shù)ξ 1 0 1 2 3 次品數(shù)ξ 1 0 1 2 3 概率 P 概率 P 問哪一臺機床加工質(zhì)量較好 奎屯王新敞 新疆 解： Eξ 1=0 +1 +2 +3 =, Eξ 2=0 +1 +2 +3 =. 它們的期望相同，再比較它們的方差 奎屯王新敞 新疆 Dξ 1=（ ） 2 +（ ） 2 +（ ） 2 +（ ） 2 =, Dξ 2=（ ） 2 +（ ） 2 +（ ） 2 +（ ） 2 =. ∴ Dξ 1 Dξ 2 故 A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好 . 四、課堂練習(xí) ： 1 .已知 ? ?~ , , 8 , n p E D? ? ???，則 ,np的值分別是（ ） A． 100 ； B． 20 ； C． 10 ； D． 10 奎屯王新敞 新疆 答案： 奎屯王新敞 新疆 2. 一盒中裝有零件 12 個，其中有 9 個正品， 3 個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止． 求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望． 分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件． 解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ，顯然ξ所有可能取的值為 0， 1， 2， 3 當(dāng)ξ =0時，即第一次取得正品，試驗停止，則 P（ξ =0） =43129? 當(dāng)ξ =1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則 P（ξ =1） =449119123 ?? 當(dāng)ξ =2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則 P（ξ =2） = 2209109112123 ??? 當(dāng)ξ =3 時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則 P（ξ =3）= 220199101112123 ???? 所以， Eξ = 10322020220924491430 ???????? 奎屯王新敞 新疆 3. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為 1%，從中任意地連續(xù)取出 200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求 Eξ， Dξ 奎屯王新敞 新疆 分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題 ．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結(jié)果是彼此獨立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽 200件商品可以看作 200次獨立重復(fù)試驗，即ξ B（ 200， 1%），從而可用公式： Eξ =np， Dξ =npq(這里 q=1p)直接進行計算 奎屯王新敞 新疆 解：因為商品數(shù)量相當(dāng)大，抽 200件商品可以看作 200次獨立重復(fù)試驗，所以ξ B（ 200，1%） 奎屯王新敞 新疆因為 Eξ =np， Dξ =npq，這 里 n=200， p=1%， q=99%，所以， Eξ =2001%=2,D ξ=2001%99%= 4. 設(shè)事件 A發(fā)生的概率為 p，證明事件 A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過 1/4奎屯王新敞 新疆 分析：這是一道純數(shù)學(xué)問題．要求學(xué)生熟悉隨機變量的期望與方差的計算方法，關(guān)鍵還是掌握隨機變量的分布列．求出方差 Dξ =P(1P)后，我們知道 Dξ是關(guān)于 P(P≥ 0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論 奎屯王新敞 新疆 證明：因為ξ所有可能取的值為 0， 1且 P（ξ =0） =1p,P(ξ =1)=p, 所以， Eξ =0(1 p)+1p=p 奎屯王新敞 新疆 則 Dξ =（ 0p） 2(1 p)
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