【正文】 (2)的平穩(wěn)性 ， |?2|=1/|z1||z2|1 ， 則至少有一個(gè)根的模大于 1， 不妨設(shè) |z1|1， 有 1)11)(11(112121212121 ?????????zzzzzzzz??0)11)(11(21??? zz于是 | z2 |1。 而 AR(1)的特征方程 01)( ???? zz ?的根為 z=1/? AR(1)穩(wěn)定，即 |?| 1，意味著特征根大于 1。 可以證明， 如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于 1），則 AR(p)模型是平穩(wěn)的。 關(guān)于這幾類模型的研究 ， 是 時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容 ：主要包括 模型的平穩(wěn)性分析 、 模型的識(shí)別 和 模型的估計(jì) 。 Ct與 Yt作為內(nèi)生變量 ， 它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資 It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ?t的變化決定的 。 時(shí)間序列分析模型的適用性 例如 ， 時(shí)間序列過去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì) ， 如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過去的行為中占主導(dǎo)地位 ， 能否認(rèn)為它也會(huì)在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢 ？ 或者 時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為 ， 我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向 ？ ● 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 ， 就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測(cè)未來的變化趨勢(shì) 。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在 。 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性 二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) 五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn) ? 經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型 ? 確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型 一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性 時(shí)間序列模型的基本概念 隨機(jī)時(shí)間序列模型 （ time series modeling） 是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來的模型 ， 其一般形式為 Xt=F(Xt1, Xt2, … , ?t) 建立具體的時(shí)間序列模型 ， 需解決如下三個(gè)問題 ： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如 ， 取線性方程 、 一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) （ ?t =?t） ， 模型將是一個(gè) 1階自回歸過程 AR(1)： Xt=?Xt1+ ?t 這里 ， ?t特指 一白噪聲 。 一般的 p階自回歸過程 AR(p)是 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲 (?t=?t)， 則稱 (*)式為一 純 AR(p)過程 （ pure AR(p) process） ， 記為 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (2)如果 ?t不是一個(gè)白噪聲 ， 通常認(rèn)為它是一個(gè) q階的 移動(dòng)平均 （ moving average） 過程 MA(q)： ?t=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式給出了一個(gè) 純 MA(q)過程 （ pure MA(p) process） 。 ? 經(jīng)典回歸模型的問題： ? 迄今為止 ， 對(duì)一個(gè)時(shí)間序列 Xt的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè) ，是通過某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的 ，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ) ， 且具有一定的模型結(jié)構(gòu) ， 因此也常稱為 結(jié)構(gòu)式模型 （ structural model） 。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于 ： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu) ， 則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于 ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式 。 ttt CYC ???? ???? ? 12110ttt ICY ?? 上述模型可作變形如下： ? 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ， 其特征依賴于投資項(xiàng) It的行為 。 AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性 ， 可通過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷 。 例 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件 。 例 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 由 ?2 ?1 1可推出同樣的結(jié)果 。 當(dāng) AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 當(dāng)然， 一個(gè) ARIMA(p,0,0)過程表示了一個(gè)純 AR(p)平穩(wěn)過程；一個(gè) ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純 MA(q)平穩(wěn)過程。這種現(xiàn)象稱為 拖尾 或稱 AR(1)有無窮記憶（ infinite memory）。 一般地， p階自回歸模型 AR(p) Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +… ?pXtp + ?t k期滯后協(xié)方差為 : pkpkktptpttKtk XXXXE?????????????????????????????22112211 ))((從而有 自相關(guān)函數(shù) : pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211 可見， 無論 k有多大， ?k的計(jì)算均與其１到 p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān) ，因此 呈拖尾狀 。 事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù) pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211是一 p階差分方程，其通解為 ??? pikiik zC1? （ 2）偏自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。 AR(p)的一個(gè)主要特征是 :kp時(shí)， ?k*=Corr(Xt,Xtk)=0 即 ?k*在 p以后是截尾的。 因此，如果計(jì)算的 rk*滿足 需指出的是 ， 我們就有 %的把握判斷原時(shí)間序列在 p之后截尾。 因此，我們 把 |?|1稱為 MA(1)的可逆性條件（ invertibility condition）或可逆域。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則： 若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自 q以后， ?k=0（ kq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動(dòng)平均 MA(q)序列。 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù) ，可以看作 MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和 AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 結(jié)構(gòu) 階數(shù) 模型 識(shí)別 確定 估計(jì) 參數(shù) ⒈ AR(p)模型的 Yule Walker方程估計(jì) 在 AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到 pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211利用 ?k=?k，得到如下方程組： kppppppppp????? ????????????????????????????????????12112211211211 此方程組被稱為 Yule Walker方程組 。 （ 1） MA(1)模型的直接算法 對(duì)于 MA(1)模型 ， （ *） 式相應(yīng)地寫成 1212120???)?1(??????????????于是 211 ??? ???? ??0???? 21204 ??? ???? ?? 或 0???? 212410 ???? ???? ??有 于是有解 )?411(2?? 2102 ??? ? ???)?411(?2??? 211211 ????? ? ?????? 由于參數(shù)估計(jì)有兩組解，可根據(jù)可逆性條件 |?1|1來判斷選取一組。按照估計(jì) MA模型參數(shù)的方法，可以得到 ?1,?2,?,?q以及 ??2的估計(jì)值。 ??2的估計(jì)值為： pnSpnnptt ???? ??? 122 1? ??? 需要說明的是， 在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中， ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。 如果通過所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。 AIC與 SBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn) 另外一個(gè)遇到的問題是，在實(shí)際識(shí)別 ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組（ p,q）值都能通過識(shí)別檢驗(yàn)。 在選擇可能的模型時(shí) ， AIC與 SBC越小越好 顯然 ， 如果添加的滯后項(xiàng)沒有解釋能力 ， 則對(duì) RSS值的減小沒有多大幫助 ， 卻增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù) ， 因此使得 AIC或 SBC的值增加 。 記 GDP經(jīng)一階差分后的新序列為 GDPD1， 該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下： 0. 40. 20. 00. 20. 40. 60. 81. 02 4 6 8 10 12 14 16 18GD P D 1A C0 . 60 . 40 . 22 4 6 8 10 12 14 16 18G D P D 1P AC 例 中國支出法 GDP的 ARMA(p,q)模型估計(jì)。再次驗(yàn)證了一階差分后的GDP滿足 AR(2)隨機(jī)過程。因此 : 模型 1與 3可作為描述中國支出法 GDP一階差分序列的隨機(jī)生成過程。 對(duì) 2023年中國支出法 GDP的預(yù)測(cè)結(jié)果（億元） 預(yù)測(cè)值 實(shí)際值 誤差 模型 1 95469 95933 % 模型 3 97160 95933 % 由于 中國人均居民消費(fèi) （ CPC） 與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDPPC） 這兩時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 ， 因此不宜直接建立它們的因果關(guān)系回歸方程 。 不同模型的回歸結(jié)果列于表 。 2??t? 4??t? 表 3對(duì)中國居民人均居民消費(fèi)水平的 2期外推預(yù)測(cè)。 , March 28, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 :19:3106:19:31March 28, 2023 ? 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。 2023年 3月 28日星期二 6時(shí) 19分 31秒 06:19:3128 March 2023 ? 1做前，能夠環(huán)視四周；做時(shí)，你只能或者最好沿著以腳為起點(diǎn)的射線向前。 :19:3106:19Mar2328Mar23 ? 1世間成事，不求其絕對(duì)圓滿，留一份不足，可得無限完美。 。 , March 28, 2023 ? 閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。勝人者有力，自勝者強(qiáng)。 202