高中數(shù)學(xué)232等比數(shù)列前n項(xiàng)的和課件蘇教版必修5-wenkub
2022-11-28 23:16:24 本頁(yè)面
【正文】 在實(shí)際上是一個(gè)等比數(shù)列求和的問(wèn)題 ， 他的解法也很簡(jiǎn)單 ， 答案是兩天不足 ， 三天有余．這節(jié)內(nèi)容 ， 我們就來(lái)探討等比數(shù)列前 n項(xiàng)和的求法 ， 推導(dǎo)出公式后運(yùn)用它去計(jì)算諸如此類的問(wèn)題． 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 課 標(biāo) 點(diǎn) 擊 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 1． 掌握等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)過(guò)程 ， 掌握錯(cuò)位相減求和法． 2． 能利用前 n項(xiàng)和公式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題 ， 同時(shí)了解某些特殊數(shù)列的求和方法． 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 要 點(diǎn) 導(dǎo) 航 知識(shí)點(diǎn) 1 前 n項(xiàng)和公式的導(dǎo)出 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 證法一 設(shè)等比數(shù)列 a1， a2， a3， ? ， an， ? ， 它的前 n 項(xiàng)和是Sn＝ a1＋ a2＋ ? ＋ an. 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可將 Sn寫(xiě)成 Sn＝ a1＋ a1q ＋ a1q2＋ ? ＋ a1qn － 1.① ① 式兩邊同乘以 q 得 qSn＝ a1q ＋ a1q2＋ a1q3＋ ? ＋ a1qn. ② ① － ② ， 得 (1 － q)Sn＝ a1－ a1qn， 由此得 q ≠ 1 時(shí) ， Sn＝a1（ 1 － qn）1 － q， ∵ an＝ a1qn － 1， 所以上式可以化為 Sn＝a1－ anq1 － q. 當(dāng) q ＝ 1 時(shí) ， Sn＝ na1. 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 證法二 由等比數(shù)列定義知a2a1＝a3a2＝ ? ＝anan－1＝ q. 當(dāng) q ≠ 1 時(shí) ，a2＋ a3＋ ? ＋ ana1＋ a2＋ ? ＋ an－1＝ q ， 即Sn－ a1Sn－ an＝ q. 故 Sn＝a1－ anq1 － q＝a1（ 1 － qn）1 － q. 當(dāng) q ＝ 1 時(shí) ， Sn＝ na1. 證法三 Sn＝ a1＋ a1q ＋ a1q2＋ ? ＋ a1qn － 1 ＝ a1＋ q( a1＋ a1q ＋ ? ＋ a1qn － 2) ＝ a1＋ qSn－1＝ a1＋ q (Sn－ an) ． 當(dāng) q ≠ 1 時(shí) ， Sn＝a1－ anq1 － q＝a1（ 1 － qn）1 － q. 當(dāng) q ＝ 1 時(shí) ， Sn＝ na1. 知識(shí)點(diǎn) 2 注意問(wèn)題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 (1 ) 上述證法中 ， 證法一為錯(cuò)位相減法 ， 證法二為合比定理法 ，證法三為拆項(xiàng)法．各種方法在今后的解題中都經(jīng)常用 ， 要用心體會(huì)． (2 ) 公比為 1 與公比不為 1 時(shí)公式不同 ， 若公比為字母 ， 要注意 分類討論． (3 ) 當(dāng)已知 a1， q ， n 時(shí) ， 用公式 Sn＝a1（ 1 － qn）1 － q， 當(dāng)已知 a1， q ，an時(shí) ， 用公式 Sn＝a1－ anq1 － q. 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 (4 ) 在解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí) ， 如已知 a 1 ， a n ， n ， q ， S n 的任意三個(gè) ， 可由通項(xiàng)公式或前 n 項(xiàng)和公式求解其余 兩個(gè)． 知識(shí)點(diǎn) 3 前 n項(xiàng)和重點(diǎn)性質(zhì)的證明 學(xué)習(xí)目標(biāo) 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 典例精析 欄目鏈接 (1 ) 數(shù)列 {an} 為等比數(shù)列 ， Sn為前 n 項(xiàng)和 ， 則 Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n滿足 (S2n－ Sn)2＝ Sn Sm. 證明： 設(shè)首項(xiàng)為 a1， 若 q ≠ 1 ， 則 Sm ＋ n＝a1（ 1 － qm ＋ n）1 － q， Sn＝a1（ 1 － qn）1 － q， Sm＝a1（ 1 － qm
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