幾何概型的經(jīng)典題型及答案-wenkub
2023-07-09 15:21:03 本頁面
【正文】 客車每小時(shí)一班,而小趙在0～60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的, 所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長度類型.解析:設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘},我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于[50,60]這一時(shí)間段內(nèi),而事件的總體是整個(gè)一小時(shí)，即60分鐘，因此，由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為．（二）、與面積有關(guān)的幾何概型例為長方形，為的中點(diǎn)，在長方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到的距離大于1的概率為（ ）A． B. C. D. 分析：由于是隨機(jī)的取點(diǎn)，點(diǎn)落在長方形內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的，基本事件是無限多個(gè)，所以符合幾何概型.解：長方形面積為2,以為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為，因此取到的點(diǎn)到的距離大于1的面積為，則取到的點(diǎn)到的距離大于1的概率為. 故選B.例 如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)．從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm, m外射箭．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？思路點(diǎn)撥 此為幾何概型，只與面積有關(guān)．解 記“射中黃心”為事件B,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為.即：“射中黃心”.方法技巧 事件的發(fā)生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環(huán)的圓面積．例在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為 。兩種解法各有特色，解法1充分利用平面幾何知識(shí)，在本題似較簡便，解法2引進(jìn)變量x把代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來，從表面上看解題過程不甚簡便，但確具有推廣價(jià)值，這種方法可以求解復(fù)雜的幾何概率問題。[解法1].設(shè)EF與E1F1是長度等于R的兩條弦，直徑MN垂直于EF和E1F1，與他們分別相交于K和K1(圖12)。幾何概型的常見題型及典例分析一．幾何概型的定義1．定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.2．特點(diǎn)：（1）無限性，即一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；（2）等可能性，即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相等.3．計(jì)算公式：說明：用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對應(yīng)的幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行度量.4．古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系：（1）聯(lián)系：每個(gè)基本事件發(fā)生的都是等可能的.（2）區(qū)別：①古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的；②兩種概型的概率計(jì)算公式的含義不同.二．常見題型（一）、與長度有關(guān)的幾何概型例在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于到之間的概率為( ).A. B. C. D. 分析：，基本事件是無限多個(gè)，而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量的取值范圍的區(qū)間長度有關(guān)，符合幾何概型的條件.解：在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),即時(shí),要使的值介于0到之間,需使或∴或，區(qū)間長度為，由幾何概型知使的值介于0到之間的概率為. 故選A.例 如圖,A,B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C,D,問A與C,B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？思路點(diǎn)撥 從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無限多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型．解 記 E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30=10米，∴.方法技巧 我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．例在半徑為R的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點(diǎn)在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度不小于R的概率。依題設(shè)條件，樣本空間所對應(yīng)的區(qū)域是直徑MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的長度與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場合所對對應(yīng)的區(qū)域是KK1，有以幾何概率公式得。例 在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2解析：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），而區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。這樣不難確定與有利場合相對應(yīng)的平面區(qū)域。f(1)0成立，即(－－a－b)(＋a－b)0，則(＋a＋b)(＋a－b)0，可化為或由線性規(guī)劃知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系aOb中畫出這兩個(gè)不等式組所表示的可行域，再由幾何概型可以知道，函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為可行域的面積除以直線a＝0，a＝1，b＝0，b＝1圍成的正方形的面積，計(jì)算可得面積之比為。”，則符合條件的射線應(yīng)落在扇形中，所以例如圖所示，在等腰直角中，過直角頂點(diǎn)在內(nèi)部做一條射線，與線段交于點(diǎn)，求CABMD的概率。例在等腰Rt△ABC中，C=900，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求的概率（答案：）（四）、與體積有關(guān)的幾何概型例在5升水中有一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1升水，含有病毒的概率是多大？分析
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