幾何概型的經(jīng)典題型及答案(已修改)
2025-07-06 15:21 本頁(yè)面
【正文】 幾何概型的常見題型及典例分析一．幾何概型的定義1．定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.2．特點(diǎn)：（1）無限性，即一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；（2）等可能性，即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相等.3．計(jì)算公式：說明：用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并對(duì)幾何圖形進(jìn)行度量.4．古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系：（1）聯(lián)系：每個(gè)基本事件發(fā)生的都是等可能的.（2）區(qū)別：①古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的；②兩種概型的概率計(jì)算公式的含義不同.二．常見題型（一）、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于到之間的概率為( ).A. B. C. D. 分析：，基本事件是無限多個(gè)，而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量的取值范圍的區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件.解：在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),即時(shí),要使的值介于0到之間,需使或∴或，區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型知使的值介于0到之間的概率為. 故選A.例 如圖,A,B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C,D,問A與C,B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？思路點(diǎn)撥 從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無限多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型．解 記 E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為30=10米，∴.方法技巧 我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．例在半徑為R的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點(diǎn)在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長(zhǎng)度不小于R的概率。思考方法：由平面幾何知識(shí)可知，垂直于弦的直徑平分這條弦，所以，題中的等可能參數(shù)是平行弦的中點(diǎn)，它等可能地分布在于平行弦垂直的直徑上（如圖11）。也就是說，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域G是一維空間（即直線）上的線段MN，而有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域GA是長(zhǎng)度不小于R的平行弦的中點(diǎn)K所在的區(qū)間。[解法1].設(shè)EF與E1F1是長(zhǎng)度等于R的兩條弦，直徑MN垂直于EF和E1F1，與他們分別相交于K和K1(圖12)。依題設(shè)條件，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是直徑MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的長(zhǎng)度與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場(chǎng)合所對(duì)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是KK1，有以幾何概率公式得。[解法2].如圖11所示，設(shè)園O的半徑為R, EF為諸平行弦中的任意一條，直徑MN弦EF，它們的交點(diǎn)為K，則點(diǎn)K就是弦EF的中點(diǎn)。設(shè)OK=x，則 x [R,R], 所以 L(G)=2R設(shè)事件A為“任意畫的弦的長(zhǎng)度不小于R”，則A的有利場(chǎng)合是 ,解不等式，得 所以 于是 [評(píng)注] 本題結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，題中直接給出了等可能值參數(shù)；樣本空間和有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色，解法1充分利用平面幾何知識(shí)，在本題似較簡(jiǎn)便，解法2引進(jìn)變量x把代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來，從表面上看解題過程不甚簡(jiǎn)便，但確具有推廣價(jià)值，這種方法可以求解復(fù)雜的幾何概率問題。例 在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率． 分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)，因此，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長(zhǎng)的線段AB上任取一點(diǎn)M，求使得AM的長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間的概率．解：記“面積介于36cm2與81cm2之間”為事件A，事件A的概率等價(jià)于“長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間”的概率，所以，P(A)= =小結(jié)：解答本例的關(guān)鍵是，將正方形的面積問題先轉(zhuǎn)化為與邊長(zhǎng)的關(guān)系。練習(xí)： 已知地鐵列車每10 min一班，在車站停1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是( )A. B. C. D.解析：設(shè)乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車為事件A，試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為1 min，故P(A)＝.答案：A已知集合A{x|－1x5}，B＝{x|0}，在集合A中任取一個(gè)元素x ，則事件“x∈A∩B”的概率是________．解析：由題意得A＝{x|－1x5}，B＝{x|2x3}，由幾何概型知：在集合A中任取一個(gè)元素x，則x∈A∩B的概率為P＝.答案： 小趙欲在國(guó)慶六十周年之后從某車站乘車外出考察，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求小趙等車時(shí)間不多于10分鐘的概率．分析：因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班,而小趙在0～60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的, 所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長(zhǎng)度類型.解析:設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘},我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于[50,60]這一時(shí)間段內(nèi),而事件的總體是整個(gè)一小時(shí)，即60分鐘，因此，由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為．（二）、與面積有關(guān)的幾何概型例為長(zhǎng)方形，為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到的距離大于1的概率為（ ）A． B. C. D.
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