【正文】 般的復(fù)雜的自然活動(dòng)的人們。其卓越的文明可追溯到公元前 3000年的巴比倫人和埃及人，他們確實(shí)注意到了日月運(yùn)動(dòng)的周期現(xiàn)象，并據(jù)此設(shè)立了歷法，但卻沒有更深入地研究它們。當(dāng)時(shí)希臘人把推理用于政治體系、倫理道德、法律、教育和其他許多方面。是什么導(dǎo)致希臘人作出這個(gè)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題不大好回答。在所有早期文明中，這些問題的回答都是宗教領(lǐng)袖給出的，并為人們所普遍接受。第一章 數(shù)學(xué)真理的起源極度幸福的靈魂，是為誰而激發(fā)！為了這些真理，去度量閃爍的星空！他們用思想的韁繩，馴服了桀傲的天體。而且，正是憑借建立在數(shù)學(xué)之上的技術(shù)，人類成功地登上了月球，探測了火星和木星。今天認(rèn)為正確的，也許下次應(yīng)用時(shí)就會(huì)證明是錯(cuò)的。找到客觀、正確的定律和標(biāo)準(zhǔn)的希望變得微弱了，理性時(shí)代已經(jīng)過去。真理的喪失，數(shù)學(xué)和科學(xué)不斷增加的復(fù)雜性，以及何種方法用于數(shù)學(xué)是最保險(xiǎn)的不確定性，已使大多數(shù)數(shù)學(xué)家放棄科學(xué)。對于正確的數(shù)學(xué)是什么所存在的分歧以及不同基礎(chǔ)的多樣性不僅嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)本身，還波及到最為生機(jī)勃勃的自然科學(xué)。然而，更多的數(shù)學(xué)家并不樂觀。有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，關(guān)于接受什么作為真正數(shù)學(xué)的不同觀點(diǎn)，有一天會(huì)統(tǒng)一起來。顯然，普遍接受的概念、正確無誤的推理體系——1800年時(shí)的尊貴數(shù)學(xué)和那時(shí)人的自豪——現(xiàn)在都成了癡心妄想。隨后的發(fā)展帶來了更大的麻煩。哥德爾證明了那幾個(gè)學(xué)派所接受的邏輯原理無法證明數(shù)學(xué)的一致性。那些基礎(chǔ)的學(xué)派不僅努力解決已有的矛盾而且力爭避免新的矛盾出現(xiàn)，就是說，建立數(shù)學(xué)的相容性。盡管他們不得不滿足于數(shù)學(xué)僅能作為宇宙的一個(gè)近似描述的觀點(diǎn)，許多人甚至放棄了宇宙的數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)這一信念，但他們的確慶幸他們重建了數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。不過，數(shù)學(xué)仍然是一種對宇宙的有效描述，而且在許多人心里，特別是在柏拉圖主義者看來，數(shù)學(xué)自身當(dāng)然還是一個(gè)頗具魅力的知識體系，一個(gè)因具真實(shí)性而受到青睞的部分。事實(shí)上，數(shù)學(xué)已經(jīng)不合邏輯地發(fā)展。新的幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的誕生使數(shù)學(xué)家們感受到另一個(gè)宇宙的震動(dòng)。19世紀(jì)初的創(chuàng)造，包括令人奇怪的幾種幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)，迫使數(shù)學(xué)家們極不情愿地勉強(qiáng)承認(rèn)絕對意義上的數(shù)學(xué)以及科學(xué)中的數(shù)學(xué)真理并不都是真理。這種數(shù)學(xué)方法所取得的成功吸引了最偉大的智者，數(shù)學(xué)已顯示了人類理性的能力、根源和力量。數(shù)學(xué)依賴于一種特殊的方法去達(dá)到它驚人而有力的結(jié)果，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理。因此，數(shù)學(xué)能牢固把握宇宙的所作所為，能瓦解玄秘并代之以規(guī)律和秩序。作為一個(gè)獨(dú)立知識體系的數(shù)學(xué)起源于古希臘，自它誕生之日起的兩千多年來，數(shù)學(xué)家們一直在追求真理，而且成就輝煌。彭加勒戰(zhàn)爭、饑荒和瘟疫能引起悲劇，然而，人類思想的局限性也能引起智力悲劇。但是，受理性指導(dǎo)的人們必須充分認(rèn)識到他們所掌握的工具的力量，認(rèn)識到推理的能力及其局限性，這遠(yuǎn)比盲目相信有益得多，后者很可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的思想甚至毀滅。那么，人類是如何認(rèn)識到這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，我們現(xiàn)在的觀點(diǎn)又是什么，這正是本書的主題。叢書定名為《第一推動(dòng)》，當(dāng)然并非說其中每一冊都是第一推動(dòng)，但是可以肯定，蘊(yùn)含在每一冊中的科學(xué)的內(nèi)容、觀點(diǎn)、思想和精神，都會(huì)使你或多或少地更接近第一推動(dòng)，或多或少地發(fā)現(xiàn)，自身如何成為自身的主宰?？茖W(xué)的精神之一，是它自身就是自身的“第一推動(dòng)”。然而，這并不意味著，科學(xué)的精神也同樣地被公認(rèn)和接受。今日的中國需要新的科學(xué)啟蒙，需要現(xiàn)代科學(xué)教育。沒有受過科學(xué)教育的人，只能稱為受過訓(xùn)練，而非受過教育。正是在這個(gè)意義上，科學(xué)堪稱為人類進(jìn)步的“第一推動(dòng)”。科學(xué)的最基本態(tài)度之一就是疑問，科學(xué)的最基本精神之一就是批判?？巳R因 著目 錄總 序序 言引 論第一章 數(shù)學(xué)真理的起源第二章 數(shù)學(xué)真理的繁榮第三章 科學(xué)的數(shù)學(xué)化第四章 第一場災(zāi)難：真理的喪失第五章 一門邏輯學(xué)科不合邏輯的發(fā)展第六章 不合邏輯的發(fā)展：分析的困境第七章 不合邏輯的發(fā)展：19世紀(jì)的困境第八章 不合邏輯的發(fā)展：天堂之門第九章 天堂受阻：理性的新危機(jī)第十章 邏輯主義與直覺主義第十一章 形式主義與集合論公理化基礎(chǔ)第十二章 災(zāi)難第十三章 數(shù)學(xué)的孤立第十四章 數(shù)學(xué)向何處去第十五章 自然的權(quán)威總序科學(xué)，特別是自然科學(xué)，最重要的目標(biāo)之一，就是追尋科學(xué)本身的原動(dòng)力，或曰追尋其第一推動(dòng)。同時(shí)，科學(xué)的這種追求精神本身，又成為社會(huì)發(fā)展和人類進(jìn)步的一種最基本的推動(dòng)。的確，科學(xué)活動(dòng)，特別是自然科學(xué)活動(dòng)，比較起其他的人類活動(dòng)來，其最基本的特征就是不斷進(jìn)步?？茖W(xué)教育，特別是自然科學(xué)的教育，是提高人們素質(zhì)的重要因素，是現(xiàn)代教育的一個(gè)核心。正是在這個(gè)意義上，科學(xué)堪稱為使人進(jìn)化為現(xiàn)代人的“第一推動(dòng)”。只有全社會(huì)的人具備較高的科學(xué)素質(zhì)，以科學(xué)的精神和思想、科學(xué)的態(tài)度和方法作為探討和解決各類問題的共同基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，社會(huì)才能更好地向前發(fā)展和進(jìn)步。雖然，科學(xué)已滲透到社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域和層面，科學(xué)的價(jià)值和地位也更高了。也就是說，科學(xué)活動(dòng)在原則上是不隸屬于服務(wù)于神學(xué)的，不隸屬于服務(wù)于儒學(xué)的，科學(xué)活動(dòng)在原則上也不隸屬于服務(wù)于任何哲學(xué)?！兜谝煌苿?dòng)》叢書編委會(huì)序言人類對于宇宙以及數(shù)學(xué)地位的認(rèn)識已被迫作出了根本性的改變，本書要討論的正是這一點(diǎn)。引論中將簡要陳述這些主題，部分材料可由詳盡的數(shù)學(xué)史略拾一二。（以下為致謝部分，從略） M本書論及的不幸事件降臨在人類最為卓著且無與倫比的成就，對人類的理性精神具有最持久和最深刻的影響——數(shù)學(xué)的頭上。關(guān)于數(shù)和幾何圖形的龐大理論體系為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)看來似乎永無休止的確定性前景。人類得以趾高氣揚(yáng)地俯瞰他周圍的世界，吹噓自己已經(jīng)掌握了宇宙的許多秘密（實(shí)際上是一系列數(shù)學(xué)定理）。它的實(shí)質(zhì)是，若公理為真，則可以保證由它演繹出的結(jié)論為真。所以他們猜測，為什么不能把這種方法用到由權(quán)威、風(fēng)俗、習(xí)慣控制的領(lǐng)域，比如在哲學(xué)、神學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)及社會(huì)科學(xué)中去尋求真理呢？人類的推理能力，在數(shù)學(xué)及自然科學(xué)中，是如此的卓有成效，肯定也將成為上述其他領(lǐng)域思想和行為的主宰，為其獲得真理的美和美的真理。例如，他們發(fā)現(xiàn)幾種不同的幾何學(xué)同等地與空間經(jīng)驗(yàn)相吻合，它們可能都不是真理。尋求真理的信念使數(shù)學(xué)家們?nèi)缱砣绨V，總是迫不及待地用嚴(yán)密論證去追求那些虛無飄渺的真理。其不僅包括錯(cuò)誤的證明，推理的漏洞，還有稍加注意就能避免的疏誤。因此，數(shù)學(xué)家們決定彌補(bǔ)丟失了的邏輯結(jié)構(gòu)，重建有缺陷的部分。然而，他們還沒來得及炫耀自封的成功，在重建的數(shù)學(xué)中就發(fā)現(xiàn)了矛盾。在這些基礎(chǔ)研究中又出現(xiàn)了其他的問題，某些公理和演繹邏輯推理的可接受性也成為幾個(gè)學(xué)派采取不同立場的重要原因。這還不包括論文里其他一些意義重大、影響深遠(yuǎn)的結(jié)果。例如，就連過去極度推崇的、被認(rèn)為是精密科學(xué)方法的公理化——演繹方法看來也是有缺陷的。與未來數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和可疑，取代了過去的確定性和自滿。這些人中比較有名的是一群署名為布爾巴基的法國領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家：長期以來，對數(shù)學(xué)原理的重要修正幾乎無一不在不確定性時(shí)期之后，而不確定性確實(shí)使矛盾出現(xiàn)了并且一定得被解決。本世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一， 1944年說：數(shù)學(xué)的終極基礎(chǔ)和終極意義尚未解決，我們不知道沿著什么方向可以找到最終答案，或者甚至于是否有希望得到一個(gè)最終的、客觀的答案。我們將看到，最先進(jìn)的自然科學(xué)理論（即這種理論的結(jié)論可以在感覺上或?qū)嶓w上體現(xiàn)出來。風(fēng)聲鶴唳，草木皆兵，數(shù)學(xué)家們不得不退回到證明方法看起來似乎很安全的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。盡管數(shù)學(xué)令人不滿意，方法復(fù)雜多變，對可接受公理持不同意見，還有隨時(shí)可能出現(xiàn)的新矛盾，都會(huì)殃及大部分?jǐn)?shù)學(xué)，但是，一些數(shù)學(xué)家仍然把數(shù)學(xué)應(yīng)用于自然現(xiàn)象中，而且事實(shí)上把應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大到經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)。第二點(diǎn)涉及到未知。這難道不是對宇宙中的數(shù)學(xué)理論的證實(shí)嗎？那么，數(shù)學(xué)的人為因素與變幻莫測又何從談起呢？當(dāng)心智和靈魂迷惘不定的時(shí)候，軀體能生存下去嗎？當(dāng)然對于人類本身及數(shù)學(xué)，確實(shí)如此。過去撲朔迷離的天空，現(xiàn)在變得清清楚楚。只有古希臘文明是個(gè)例外。把推理用于人類活動(dòng)和思維的始祖曾生活在愛奧尼亞——古希臘人在小亞細(xì)亞的一個(gè)定居處。他們的主要的、決定性地影響了后代文明的貢獻(xiàn)是接受了對推理的最強(qiáng)有力的挑戰(zhàn)，知道了自然界有規(guī)律可言。這些極少的偶然的觀察沒有改變他們對自然的態(tài)度。他們以思維與似乎瞬息萬變的宇宙現(xiàn)象抗?fàn)?，將理性之光灑于其上。這種態(tài)度是理性的、批判的和反宗教的。簡而言之，自然是按理性設(shè)計(jì)的，這種設(shè)計(jì)，雖然不為人的行為而影響，卻能被人的思維所理解。這一時(shí)期的著名哲學(xué)家們，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克薩哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一個(gè)主旨去解釋宇宙的構(gòu)成。愛奧尼亞人的自然哲學(xué)是一系列的大膽的觀察，敏銳的猜測和天賦的直覺，而不是廣泛而細(xì)致的科學(xué)研究的成果。這些人敢于用思維來對待世界，拒絕依賴神靈、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也許能夠維護(hù)或毀滅自然現(xiàn)象的神秘力量。最早提出自然界數(shù)學(xué)模式的是以畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）為領(lǐng)袖的座落于意大利南部的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。數(shù)學(xué)是他們解釋自然的第一要素，所有物體都是由物質(zhì)的基本微?；颉按嬖趩卧备鶕?jù)不同的幾何形狀組成的。這種早期的畢達(dá)哥拉斯派思想是令人迷惑的。他們提到三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)時(shí)，想到的是點(diǎn)集、晶狀體或點(diǎn)狀物體。有了這一后來的特性，我們可以明白菲洛羅斯(Philolaus)的論述：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解……”你不僅可以在鬼禪的事務(wù)上，而且在人間的一切行動(dòng)和思想上乃至在一切行業(yè)和音樂上看到數(shù)的力量。這時(shí)短弦發(fā)出的音比長弦發(fā)出的音高五度。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把行星運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系。但因這“天籟之音”也像所有諧音一樣可以推為數(shù)的關(guān)系，所以行星運(yùn)動(dòng)也是這樣?！彼麄冋J(rèn)為自然是由四元性組成的，點(diǎn)、線、面和立體。我們看不到中心地球和反地球，因?yàn)槲覀兯幼〉哪遣糠值厍蚴潜吵鼈兊?。亞里士多德在《形而上學(xué)》一書中，總結(jié)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)的現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識：他們似乎察覺到了存在的以及將要形成的事物在數(shù)方面的共性，而不僅僅表現(xiàn)在火、土和水上（這樣或那樣數(shù)字的修正是合法的，另一種是精神和推理，再一種則是機(jī)會(huì)——同樣幾乎所有的其他事物都可用數(shù)字表達(dá)）；又因?yàn)橐綦A的修正和比例可用數(shù)字表示；還由于其他事物在本質(zhì)上都能用數(shù)字來模式化，數(shù)字似乎是整個(gè)自然界的先驅(qū)。畢派也未使物理科學(xué)的任一分支向前發(fā)展，可以公正地稱其理論為膚淺的。留基伯(Leuccipus)和德謨克里特(Democritus)由于更加清晰地確定了原子論而聞名于世。形狀、大小等只是原子的特性，其他性質(zhì)如味、熱則非原子所固有而來自觀察者，所以感性認(rèn)識不可靠，因它隨觀察者而異。他是雅典柏拉圖學(xué)園的創(chuàng)立者，這個(gè)學(xué)園是一個(gè)吸引了當(dāng)時(shí)一流思想家的中心，存在了九百年之久。我別無它求。對于物質(zhì)世界我們只可能有觀點(diǎn)，可見、可感知的世界只是理想世界的一個(gè)模糊迷離、不完美的拷貝。永恒的知識只能從純粹理想的形式中獲得，這些思想實(shí)際上是永恒不變的?！痹凇豆埠蛧芬粫校乩瓐D認(rèn)為“幾何學(xué)所要求的知識是永恒的，而不是轉(zhuǎn)瞬即逝或反復(fù)無常的。柏拉圖比畢派前進(jìn)了一步，他不僅希望用數(shù)學(xué)來理解自然界，而且要用數(shù)學(xué)來取代自然界本身。但柏拉圖義憤地貶斥這種證明為幾何學(xué)的墮落；指責(zé)他們利用感性知識來取代純粹的推理。在接觸這門真正的科學(xué)之前，我們必須拋開“天體”，因?yàn)檎嬲奶煳膶W(xué)探求的是數(shù)學(xué)化宇宙中星體的運(yùn)動(dòng)定律，而可見的天體只是其不完美的表現(xiàn)形式。柏拉圖對航海、歷法和計(jì)時(shí)中的天文學(xué)的使用并不感興趣。物理學(xué)乃至一般的科學(xué)必須研究現(xiàn)實(shí)世界并從中獲取真理?！彼槿∥矬w的明顯的感性特征，使之具體化并上升為獨(dú)立的精神上的概念。但數(shù)學(xué)概念和原理肯定是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，正因?yàn)槿绱?，它們也可用于現(xiàn)實(shí)世界。在這個(gè)經(jīng)典時(shí)期末期，上述觀點(diǎn)已經(jīng)確立，并且開始了對數(shù)學(xué)規(guī)律的探求。人們怎樣尋求真理并證明其是真理呢？在此，希臘人也繪出了方案。除了希臘文明外，在其他文明中數(shù)學(xué)并不是一個(gè)獨(dú)立體系，它沒有形成一套方法，僅為了直接而實(shí)用的目的被研究。這類數(shù)學(xué)的特點(diǎn)可用經(jīng)驗(yàn)主義一言蔽之。數(shù)學(xué)原本是一些關(guān)于數(shù)字和幾何圖案的基本事實(shí)，必然是一個(gè)真理體系。幸運(yùn)的是，人類由對事物的感性認(rèn)識得到的認(rèn)識可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現(xiàn)實(shí)和思想的真實(shí)載體。希臘人明確地指出數(shù)學(xué)是處理抽象事物的。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來定義，而基本概念正如亞里士多德所說應(yīng)該是不可定義的，否則就沒有起始點(diǎn)。為了推導(dǎo)出數(shù)學(xué)概念，希臘人從自明的、無人懷疑的公理入手。但亞里士多德并不這樣認(rèn)為，他認(rèn)為公理是可理解的原理，符合思維而沒有什么可懷疑的。公設(shè)則適用于專業(yè)學(xué)科，如幾何學(xué)。從公理出發(fā)，可用推理得出結(jié)論。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會(huì)死這樣的結(jié)論。因此，如果前提為真，則結(jié)論也為真。因?yàn)閿?shù)學(xué)公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據(jù)柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認(rèn)他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在《西艾泰德斯》一書中的比喻來說，定理，就像關(guān)在鳥籠中的鳥。從而蘇格拉底成功地得出結(jié)論，即便是沒有受過幾何學(xué)訓(xùn)練的奴隸也可以在適當(dāng)?shù)奶崾鞠禄貞浧饋?。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數(shù)學(xué)上不會(huì)被認(rèn)可。哲學(xué)家們偏愛演繹推理還有一個(gè)原因，他們致力于理解人類和物質(zhì)世界的廣泛知識。奴隸、非公民和自由手工業(yè)者，從事商業(yè)和家務(wù)勞動(dòng)，甚至從事最重要的職業(yè)。在畢歐欽人（Boeotian，希臘人的一個(gè)部落）中，用商務(wù)來褻瀆自己的人十年內(nèi)不得擔(dān)任公職。到了亞里士多德時(shí)代，對演繹推理的要求已經(jīng)確定，因?yàn)樗U明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個(gè)人生活的全部。在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對純幾何學(xué)知識增添了幾本著作《論球和圓柱》，論《劈錐曲面體與球體》，《拋物線的求積》。這一學(xué)科的創(chuàng)始人是喜帕恰斯。三角學(xué)研究三角形邊、角的量化關(guān)系。三角學(xué)的引入要求其使用者具有較高深的算術(shù)和某些代數(shù)知識。這些著作似乎和揭示自然的真理無關(guān)，實(shí)際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數(shù)學(xué)。然而，就像僅憑二項(xiàng)展開式定理就得出牛頓是一個(gè)純粹數(shù)學(xué)家的結(jié)論，他們僅憑這兩部著作就得了這個(gè)論斷，視野未必過于狹窄。因