【正文】 n? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ (1＋ 1 2)(1＋ 2 3)? [1＋ n(n＋ 1)]＞ e2n－ 3 ?????? 14 分 (江蘇運河中學 2020 年高三 第一次質(zhì)量檢測 )已知 函數(shù) f(x)=x2－ x＋ alnx (1)當 x≥1 時， f(x)≤x2 恒成立，求 a 的取值范圍； (2)討論 f(x)在定義域上的單調(diào)性； 解：由 f(x)≤x2 恒成立 ,得 :alnx≤x在 x≥1 時恒成立 當 x＝ 1 時 a∈ R 2 分 當 x＞ 1 時即 lnxa x? ， 令 ()lnxgx x? , 2ln 1() lnxgx x?? ? 4 分 x≥e 時 g’(x)≥0 ,g(x)在 x＞ e 時為增函數(shù) ， g(x)在 x＜ e 時為減函數(shù) ∴ gmin(x)＝ e ∴ a≤e 7 分 (2)解： f(x)=x2－ x＋ alnx， f′(x)=2x－ 1＋ ax = 22x x ax?? ， x＞ 0 （ 1）當 △ =1－ 8a≤0， a≥18時， f′(x)≥0恒成立， f(x)在（ 0， +∞）上為增函數(shù)． 9 分 （ 2）當 a＜ 18時 ① 當 0＜ a＜ 18時， 1 1 8 1 1 8 022aa? ? ? ??? f(x)在 1 1 8 1 1 8[ , ]22aa? ? ? ?上為減函數(shù)， 永久免費組卷搜題網(wǎng) 永久免費組卷搜題網(wǎng) f(x)在 1 1 8 1 1 8( 0 , ] , [ , )22aa? ? ? ? ??上為增函數(shù)． 11 分 ② 當 a=0 時， f(x)在（ 0， 1]上為減函數(shù)， f(x)在 [1，＋ ∞）上為增函數(shù)． 13 分 ③ 當 a＜ 0 時， 1 1 8 02 a??? ，故 f(x)在（ 0， 1 1 82 a?? ]上為減函數(shù)， f(x)在 [ 1 1 82 a?? ，＋ ∞）上為增函數(shù)． 15 分 1 (安徽省潛山縣三環(huán)中學 2020 屆高三上學期第三次聯(lián)考 )已知 a為實數(shù)，函數(shù)2 3( ) ( )( )2f x x x a? ? ?． (Ⅰ ) 若函數(shù) ()fx 的圖象上有與 x軸平行的切線，求 a的取值范圍； (Ⅱ ) 若 ( 1) 0f??? ， 求函數(shù) ()fx 的單調(diào)區(qū)間； 解： (Ⅰ ) ∵ 32 33()22f x x a x x a? ? ? ?， ∴ 2 3( ) 3 22f x x ax? ? ? ?． ∵ 函數(shù) ()fx 的圖象上有與 x軸平行的切線 ， ∴ ( ) 0fx? ? 有實數(shù)解． ∴ 2 34 4 3 02aD ? ? ? ? ?， ∴ 2 92a?．所求 a的取值范圍是 3 2 3 2( , ) ( , )22?? ? ? ?． (Ⅱ ) ∵ ( 1) 0f??? ，∴ 33 2 02a? ? ?即 94a?.∴ 2 31( ) 3 2 3 ( ) ( 1 )22f x x a x x x? ? ? ? ? ? ?． 由 ( ) 0fx? ? ，得 1x?? 或 12x??； 由 ( ) 0fx? ? ，得 112x? ? ??． 因此，函數(shù) ()fx 的單調(diào)增區(qū)間為 ( , 1]??? ， 1[ , )2? ??；單調(diào)減區(qū)間為 1[ 1, ]2??． 1 (北京五中 12 月考 )已知 .21)(),1l n()( 2 bxaxxgxxf ???? （ 1）若 )()1()(,2 xgxfxhb ???? 且 存在單 調(diào)遞減 區(qū)間，求 a 的取值范圍； （ 2）若 1,0 ?? ba 時，求證 ),1(0)()( ?????? xxgxf 對于成立； （ 3）利用（ 2）的結(jié)論證明：若 .2ln)(lnln,0 yxyxyyxxyx ?????? 則 解：（ 1） xaxxxhb 221ln)(2 2 ???? 時 ， 2)( ???? axxxh )(xh? 有單調(diào)減區(qū)間 ， 021,0)( 2 ?????? x xaxxh 即有解 有解 0?x? ， 0122 ???? xax 有解 ① 0?a 時合題意 ② 0?a 時， 044 ???? a ， 即 1??a ， a? 的 范圍 是 ),1( ??? 永久免費組卷搜題網(wǎng) 永久免費組卷搜題網(wǎng) （ 2）設(shè) xxxgxfx ????? )1l n ()()()(? ，1111)( ??????? x xxx? 1??x? x )0,1(? 0 ),0( ?? )(x?? + 0 )(x? ↗ 最大值 ↘ ∴當 x＝ 0 時 ,Φ(x)有最大值 0， 0)( ?? x? 恒成立 即 10)()( ???? xxgxf 對成立 （ 8 分 ） （ 3） yx??0? )2ln(l n)2ln(l n2ln)(lnln yxyyyxxxyxyxyyxx ?????????? y yxyx yxxyx yyyx xx 2ln2ln2ln2ln ????????? )21l n()21l n( y yxyx xyx ??????? 022 ???????? yxyx xyx ?求證成立 （ 12 分 ） 13 、 ( 北 京 市 東 城 區(qū) 2020 屆 高 三 部 分 學 校 月 考 ) 設(shè) 函 數(shù))(,1),1l n ()1()( xfaxaaxxf 求其中 ?????? 的單調(diào)區(qū)間 . 解：由已知得函數(shù) ).1(11)(),1()( ????????? axaxxfxf 且的定義域為 （ 1）當 ),1()(,0)(,01 ???????? 在函數(shù)時 xfxfa 上單調(diào)遞減。 當 0 xe??時 , ( ) 0ux? ? . ∴ 1( ) ( )u x u e e??極 大， 當 0x ?? 時 , ln() xux x? ? ??； 當 x??? 時 , lnlim ( ) lim 0xxxux x? ?? ? ????， 但此時 ( ) 0ux? ， 此時以 x 軸為漸近線 。 (2020 年重慶一中高 2020 級第一次月考 )已知函數(shù) ()xf x e? （ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），( ) ln( ( ) )g x f x a??（ a 為常數(shù)）， ()gx 是實數(shù)集 R 上的奇函數(shù)。 當 ),( ??? ea 時， 0)ln1(21)( ??? aaaf 因為 021)1( ??f 且 a?1 ，所以方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),0( a 上有惟一解， 因為當 1?x 時， 0)ln( ??? xx ，所以 1ln ?? xx 所以 axxxaxxfxx ????? 22 21ln21)(,ln ， 因 為 12 ?? aa ， 所 以02)2(21)( 22 ??? aaxf ， 永久免費組卷搜題網(wǎng) 永久免費組卷搜題網(wǎng) 所以方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ??a 上有惟 一解。 021)1( ??f? ， 0121)( 21 ??? aa eef ，所以方程有惟一解。又 ,32)1(,0)0( ?? ff ,158)2( ?f ?當 )2,0(?x 時 )(xf 的值域是 ?????? 32,0； 方法二：當 0?x 時 )(xf =0；當 ]2,0(?x 時 )(xf ,32121341134 ???????xxxx當且僅當1,1 ?? 即xxx 時 )(xf 的值域是 ?????? 32,0 ； （ 2） 設(shè)函數(shù) )(xg 在 ? ?2,0 的值 域是 A ，∵ 對任意 ? ?2,01?x ， 總存 在 ? ?2,02?x ，使0)()( 21 ?? xgxf 。 6 分 （Ⅱ）（ⅰ）當 0a≤ 時， 由于 ? ?l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n( 1 ) l n ( 1 ) l n( ) 011 x x x xx x x xfx xx ? ? ? ?? ? ?? ? ???， 故關(guān)于 x 的不等式 ()f x a≥ 的解集為 (0 )?， ∞ ． 永久免費組卷搜題網(wǎng) 永久免費組卷搜題網(wǎng) 本資料來源于《七彩教育網(wǎng)》 2020 屆全國名校高三數(shù)學模擬試題分類匯編 (上 ) 12 導數(shù)與極限 三、解答題 (河南省實驗中學 20202020 學年高三第二次月考 )設(shè)函數(shù) ln( ) ln ln ( 1 )1 xf x x xx? ? ? ??． （ Ⅰ ）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； （ Ⅱ ）是否存在實數(shù) a，使得關(guān)于 x 的不等式 ()f x a≥ 的解集為（ 0， +? ）？若存在，求a 的取值范圍；若不存在，試說明理由． 本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．滿分 14 分． 解：（Ⅰ）221 l n 1 1 l n() ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 )xxfx x x x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 2 分 故當 (01)x? ， 時， ( ) 0fx? ? ， (1 )x??， ∞ 時， ( ) 0fx? ? ． 所以 ()fx在 (01)， 單調(diào)遞增，在 (1 )?， ∞ 單調(diào)遞減． ∴ ?????? 32,0 ,A?對函數(shù) )(xg 求導， axg ?? )( 22 ax ? ， ① 當 0),2,0( ?? ax 時，函數(shù) )(xg 在 )2,0( 上單調(diào)遞減， ,0238)2(,0)0( 2 ???? aagg ∴當 ? ?2,0?x 時，不滿足 ?????? 32,0 A? ； ② 當 0?a 時， axg ?? )( ))(( axax ?? ，令 ,0)( ?? xg 得 a或xax ??? （舍去）， （ i）當 ? ?2,0?x ， 20 ?? a 時，列表 x 0 ),0( a a )2,( a 2 )(xg? － 0 ＋ )(xg 0 ? aa232? ? 2238 aa?? 永久免費組卷搜題網(wǎng) 永久免費組卷搜題網(wǎng) ∵ ,0)(,0)0( ?? agg 又∵ ?????? 32,0 A?，∴ ,32238)2( 2 ??? aag解得 .131 ??a (ii）當 2),2,0( ?? ax 時 , 0)( ?? xg ,∴函數(shù) )(xg 在 )2,0( 上單調(diào)遞減， ,0)0( ?g 0238)2( 2 ??? aag ,∴當 ? ?2,0?x 時，不滿足 ?????? 32,0 A? .綜上 ,實數(shù) a 的取值范圍是??????1,31 . (江西省南昌二中 2020～ 2020 學年度第一輪第二次段考 )已知函數(shù) ()fx 的導數(shù)2( ) 3 3 ,f x x ax? ??(0) .fb? ,ab為實數(shù)， 12a??. （Ⅰ）若 ()fx在區(qū)間 [ 1, 1]? 上的最小值、最大值分別為 2? 、 1，求 a 、 b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點 (2, 1)P 且與曲線 ()fx相切的直線 l 的方程； （Ⅲ）設(shè)函數(shù) 2( ) [ ( ) 6 1 ] xF x f x x e?? ? ? ?，試判斷函數(shù) ()Fx的極值點個數(shù)． 解：（Ⅰ）由已知得， 323() 2f x x a x b? ? ?, 由 ( ) 0fx? ? ，得 1 0x? ， 2xa? ． ∵ [ 1, 1]x?? ， 12a?? ，∴ 當 [ 1, 0)x?? 時， ( ) 0fx? ? ， ()fx 遞增；當 (0, 1]x? 時，( ) 0fx? ? ， ()fx 遞減．∴ ()fx在區(qū)間 [ 1, 1]? 上的最大值為 (0)fb? ，∴ 1b? ． 又 33(1 ) 1 1 222f a a? ? ? ? ?， 33( 1 ) 1 122f a a? ? ? ? ? ? ?，∴ ( 1) (1)ff?? ． 由題意得 ( 1) 2f ? ?? ，即 3 22a? ?? ，得 43a? ． 故 43a? ， 1b? 為所求． （Ⅱ）解：由（ 1）得 32( ) 2 1f x x x? ? ?， 2( ) 3 4f x x x? ??，點 (2, 1)P 在曲線 ()fx上． ⑴ 當切點為 (2, 1)P 時，切線 l 的斜率 2( ) | 4xk f x ?