【正文】 i j i j i j i jj i i jb d d d dn n n? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2ijd為i城市與j城市之間的距離。 二、古典多維標(biāo)度分析的思想及方 法 設(shè)r維空間中的n個點表示為12, , , nX X X，用矩陣表示為12( , , , )nX X X ??X。如用 10表示兩種飲料非常不相似，用 1表示兩種飲料非常相似。 第二節(jié) 古典多維標(biāo)度法 (Classical MDS) 一 相似與距離的概念 二 古典多維標(biāo)度分析的思想及方法 三 度量 MDS的古典解 四 非度量 MDS的古典解 (nonmetric MDS) ? 首先我們提出這樣一個問題，表 行距離，我們?nèi)绾卧谄矫孀鴺?biāo)上據(jù)此標(biāo)出這 10城市之間的相對位置，使之盡可能接近表中的距離數(shù)據(jù)呢？ 表 美國 10城市間的飛行距離 1 ＝ A tl an ta , 2 ＝ C h i c ago, 3 ＝ D e n v e r , 4 ＝ H o u s ton , 5 ＝ L os A n ge l e s 6 ＝ M i am i , 7 ＝ N e w Y or k , 8 ＝ S an F r an c i s c o , 9 ＝ S e att l e , 10 ＝ W as h i n gto n . D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543 587 0 920 940 1745 1 188 713 1858 1737 597 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 230 0 604 1 188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0 一、相似與距離的概念 ? 在解決上述問題之前，我們首先明確與多維標(biāo)度法相關(guān)的數(shù)據(jù)概念。按相似性（距離）數(shù)據(jù)測量尺度的不同 MDS可分為：度量 MDS和非度量 MDS。多維空間中排列的每一個點代表一個對象，因此點間的距離與對象間的相似性高度相關(guān)。 ? 多維標(biāo)度法起源于心理測度學(xué)，用于理解人們判斷的相似性。第十章 多維標(biāo)度法 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 古典多維標(biāo)度法 (Classical MDS) 第三節(jié) 權(quán)重多維標(biāo)度 (WMDS) 第四節(jié) 實例分析與計算實現(xiàn) 第一節(jié) 引 言 ? 在實際中我們會經(jīng)常遇到這些的問題，給你一組城市，你總能從地圖上測出任何一對城市之間的距離。Terson拓展了 Richardson及 Klingberg等人在三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多維標(biāo)度法，后經(jīng) Shepard和 Kruskal等人進(jìn)一步加以發(fā)展完善。也就是說，兩個相似的對象由多維空間中兩個距離相近的點表示，而兩個不相似的對象則由多維空間兩個距離較遠(yuǎn)的點表示。當(dāng)利用原始相似性（距離）的實際數(shù)值為間隔尺度和比率尺度時稱為度量 MDS(metric MDS)，當(dāng)利用原始相似性（距離）的等級順序（即有序尺度）而非實際數(shù)值時稱為非度量MDS(nonmetric MDS)。 1．相似數(shù)據(jù)與不相似數(shù)據(jù) ? 相似數(shù)據(jù)：如果用較大的數(shù)據(jù)表示非常相似，用較小的數(shù)據(jù)表示非常不相似，則數(shù)據(jù)為相似數(shù)據(jù)。 2．距離陣 ? 定義 一個 n ? n階的矩陣 D=(dij ) n ? n ，如果滿足條件： ? ? （ 1 ）??DD （ 2 ）0 , 0 , , 1 , 2 , ,ij iid d i j n? ? ? 則矩陣D為廣義距離陣，ijd稱為第i點與第j點間的距離。在多維標(biāo)度法中， 我們稱X為距離陣D的一個擬合構(gòu)圖，求得的 n 個點之間的距離陣 ?D稱為D的擬合距離陣， ?D和D盡可能接近 。 那么，如果一個nn的距離陣D是歐氏距離陣的充要條件是0?B。 記12 r? ? ?? ? ?為 B 的正特征根，12, , , r? ? ?對應(yīng)的單位特征向量為12, , , re e e，12( , , , )re e e?Γ是單位特征向量為列組成的矩陣，則1 1 2 2( , , , ) ( )r r i j n re e e x? ? ? ???X， X矩陣中每一行對應(yīng)空間中的一個點，第i行即為iX。 ? 這里需要特別注意，并非所有的距離陣都存在一個 r維的歐氏空間和 n個點，使得 n個點之間的距離等于 D。 ? 值得注意的是，由于多維標(biāo)度法求解的 n個點僅僅要求它們的相對歐氏距離與 D相近，也就是說，只與相對位置相近而與絕對位置無關(guān)，根據(jù)歐氏距離在正交變換和平移變換下的不變性，顯然所求得解并不唯一。 （ 4）根據(jù)（ ）式計算 ，得到 r維擬合構(gòu)圖（簡稱古典解）。數(shù)值越大表明距離越遠(yuǎn)，數(shù)值越小表明距離越短，符合廣義距離陣的定義，又只涉及一個距離陣，因此為度量 CMDS。按照（ 10 . 7 ）式得到如下結(jié)果： 11 e? 22 e? 1e 2e ? 10個城市的坐標(biāo)分別為： （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ，），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）。圖 MDS反映美國 10座城市相對位置的感知圖。根據(jù)數(shù)學(xué)定理易知，當(dāng)0?C時，由（ 10 . 8 ）式定義的距離陣為歐氏型。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)（ ）式得到內(nèi)積矩陣 B，具體結(jié)果見表 。對于非度量的不相似性矩陣，我們?nèi)绾芜M(jìn)行多維標(biāo)度分析呢？假定有一個 n個對象的不相似矩陣 (? ij)n ?n ，要尋找 n個對象的一個 r維擬合構(gòu)造點 X。因為，對于定序尺度ij?來說，如何量化它與ijd間的對應(yīng)程度是解決問題的 關(guān)鍵。非度量多維標(biāo)度法就是要采用迭代方法，找到使S T R E S S 盡可能地小的r維空間中n個對象的坐標(biāo)。 S應(yīng)力的值介于 0和 1之間。從前述可知，對每一個 r ，可以找到使應(yīng)力達(dá)到最小的點 結(jié)構(gòu)。若找到一個 r ，上述 下降趨勢到這一點開始接近水平狀態(tài)，即形成一個“肘”形曲 線，這個 r便是“最佳”維數(shù)。這一節(jié)將介紹由 Carroll和 Chang提出的解決這類問題的多維標(biāo)度方法 —— 權(quán)重多維標(biāo)度法（ WMDS）。設(shè)itX表示i對象在公共擬合構(gòu)造空間的t維坐標(biāo)，則對于i對象第k個個體在公共擬合構(gòu)造空間的t維坐標(biāo)為? ?kitY ? ? 1 / 2ki t k t i tY w X? （ 10 . 1 1 ） ? ? 其中1 / 2ktw為第k個個體在t維的權(quán)重。 （一）操作步驟： 1. 在 Data→Select case 對話框的 If過濾條件中輸入過濾條件 “ region=3”。在左上方是變量列表選擇以下變量： urban（城市人口比例），lifeexpf（女性平均壽命）， lifeexpm（男性平均壽命），gdp_cap（人均 GDP）， death_rt（千人死亡率）， birth_rt（千人出生率）， literacy（受教育人口比例）。并在其下方的 Transform Values欄中選擇變量標(biāo)準(zhǔn)化變換的方式，這里我們選擇 Z scores和 By variable，表示對變量進(jìn)行正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化。這里可以設(shè)定變量取值的類型。 Display欄中默認(rèn)不輸出任何圖表。查原始數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn) Taiwan缺少千人死亡率，該樣品被去除。 RSQ=。 s s t r e s s f o r m u l a 1 . F o r m a t