【正文】 要性的分析 第五節(jié) 實例分析與計算機實現(xiàn) 第一節(jié) 引言 ? 一般認為因子分析是從 Charles Spearman在 1904年發(fā)表的文章 《 對智力測驗得分進行統(tǒng)計分析 》 開始，他提出這種方法用來解決智力測驗得分的統(tǒng)計方法。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。這三個方面除了價格外，商店的環(huán)境和服務質量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標進行間接反映。 ? 因子分析的內容非常豐富，常用的因子分析類型是 R型因子分析和 Q型因子分析。該模型可用矩陣表示為： ??X A F ε （ 7. 2 ） 這里 1 1 1 2 12 1 2 2 21212( , , , )mmmp p p ma a aa a aA A Aa a a????????????????A 12pXXX???????????????X， 12mFFF?????????????F， 12p??????????????????ε 且滿足： （ 1 ）mp?； （ 2 ）C o v ( , ) 0?F ε，即公共因子與特殊因子是不相關的； （ 3 ）101()01FmD??????? ? ???????D F I，即各個公共因子不相關且方差為 1 ； （ 4 ）212220()0pD????????????????????D ε，即各個特殊因子不相關，方差不要求相等。我們下面將看到，因子分析的求解過程同主成分分析類似，也是從一個協(xié)方差陣出發(fā)的。正因為因子分析是一個提練潛在因子的過程，因子的個數(shù) m取多大是要通過一定規(guī)則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。這是因為對于mm?的正交矩陣 T ，令 *?A A T， * ??F T F，則模型可以表示為 **??X A F ε 由于 *( ) ( )mmDD ???? ? ?F T F T T T I **C o v ( , ) ( ) ( ) 0EE ? ? ?? ? ?F ε F ε TF ε 所以仍然滿足模型的條件。 1 ．因子載荷ija的統(tǒng)計意義 對于因子模型 1 1 2 2i i i ij j im m iX a F a F a F a F ?? ? ? ? ? ? ? 1 , 2 , ,ip? 我們可以得到，iX與jF的協(xié)方差為： 1C o v( , ) C o v( , )mi j i k k i jkX F a F F???? ? =1C o v( , ) C o v( , )mi k k j i jka F F F???? =ija 如果對iX作了標準化處理，iX的標準差為 1 ，且jF的標準差為 1 ，因此 ,Co v ( , )Co v ( , )( ) ( )ijijX F i j ijijXFr X F aD X D F? ? ? （ 7 . 6 ） 那么，從上面的分析，我們知道對于標準化后的iX，ija是iX與jF的相關系數(shù)，它一方面表示iX對jF的依賴程度，絕對值越大，密切程度越高；另一方面也反映了變量iX對公共因子jF的相對重要性。第二部分為特殊因子i?對變量iX的方差的貢獻，通常稱為個性方差。 這里我們假定原始向量12( , , , )pX X X ??X已作了標準化變換。這種方法要求得到的解使得第一公共因子1F對X的貢獻22111piiga?? ?達到最大，第二 共因子2F對 X 的貢獻22221piiga?? ?達到次之， ，第m個公共因子mF對 X 的貢獻最小。于是有 ： 111110 , 1 , 2 , ,0 , 1pi ij jjipij jtjita a i paata??????? ?? ? ? ???????? ? ? ?????? 兩式合并，得到 1110pij jt t ijaa??????， 1 , 2 , ,ip?；1 , 2 , ,tm? （ 7. 12 ） 其中 11101ttt???? ??? 用1ia乘 （ 7. 12 ） 式，并對i求和，得 21 1 111( ) 0p p pi j i j t t ij i ia a a??? ? ???? ? ?， 1 , 2 , ,tm? 這里我們應該注意到， 22111piiga?? ?，1 1 111ppi j i j i i jija a a????????， 即有 21 1 110pj j t tja a g?????， 1 , 2 , ,tm? （ 7. 13 ） 用ita乘 （ 7. 13 ） 式，并對t求和，得 21 1 11 1 1( ) 0p mmj j t i t t i tj t ta a a a g?? ? ???? ? ?， 1 , 2 , ,ip? 由于*1mi j i t j ttr a a?? ?，那么 *21 1 11pi j j ijr a a g???， 1 , 2 , ,ip? 用向量表示為 11* * * 21 2 1 11( , , , )i i i p ipar r r a ga???????????， 1 , 2 , ,ip? 則有 *211( ) 0gA??RI 因此，21g是約相關陣 *R的最大特征根，1A是相應于21g的特征向量。 為了求得載荷矩陣A中其余1m ?列，應該注意到約相關陣 *R的譜分解式為 * * * * * * *1112ppi i i i i iiiAA?????? ?? ? ???R t t t t （ 7. 14 ） 并注意到， 約相關陣 *R還可以分解為 ? ?1*11,mm t ttmAA A A AA????????? ? ?????????R AA 因此，求出1A后，將 *R 減去11AA ?，就得 *111mtttA A A A????? ?R 對于*11AA ??R重復上面的討論，從 （ 7 . 1 4 ） 可以看出，要求的2*22g ??，**2 2 2A ?? t，即22g是約相關陣 *R 的第二大特征根*2?，2A是相應于*2?且滿足2 2 *2 2 2 2 11piig a A A ???? ? ??的特征向量。2i?（或2ih）的較好估計一般很難直接得到，通常是先給出它的一個初始估計2?i?（或2?ih），待載荷矩陣 A 估計好之后再給出2i?（或2ih）的最終估計。這樣得到的 ?A ，實際上是針對 R 主成分解。取*?R 的前 m 個正特征值* * *12 0m? ? ?? ? ? ?及相應的正交單位特征向量* * *12, , , mt t t，可以分解式 * ? ?? ??R A A 其中* * * * * *1 1 2 2? ? ? ?? ? ? ?( , , ) ( )m m i j p ma? ? ? ???A t t t，這樣可以得到2i?的最終估計為 2 2 21?? ?1 1 1 , 2 , ,mi i i jjh a i p??? ? ? ? ?? 在此，我們稱 ?A 和2 2 212? ? ? ?( , , , )pd i a g ? ? ??D為因子模型的主因 子解。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實際背景進行合理的解釋。 ? 因子旋轉方法有正交旋轉和斜交旋轉兩類，這里我們重點介紹正交旋轉。實踐中，我們常用的方法是最大方差旋轉法，下面我們主要介紹這一方法。 1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 2*1 2 1 2c o s s in s in c o sc o s s in s in c o sc o s s in s in c o sp p p pa a a aa a a a