【正文】 ()1 1 2n n n ni j i jj i i jn n n ni i j j i ji j i jddn n nX X X X X Xn n n? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 10 . 4 ） 由（ 10 . 1 ）、（ 10 . 2 ）、（ 10 . 3 ）和（ 10 . 4 ）式，得知 2 2 2 221 1 1 11 1 1 1()2n n n ni j i j i j i j i jj i i jb d d d dn n n? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 11 2 2 2( 2 )2n n n ni j i j i j i jj i i jX X X X X X X Xn n n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?()i j i jX X X X X X X X? ? ? ?? ? ? ? ( ) ( )ijX X X X?? ? ? 其中，11niiXXn ?? ?。 用矩陣表示為 ： 11()( ) ( , , ) 0()i j n n nnXXb X X X XXX???? ???? ? ? ? ?????????B ? ? 這里，我們稱B為X的中心化內積陣。 再來考慮充分性，如果假設0?B，我們欲指出X正好 為D的一個構圖，且D是歐氏型的 。 記12 r? ? ?? ? ?為 B 的正特征根，12, , , r? ? ?對應的單位特征向量為12, , , re e e，12( , , , )re e e?Γ是單位特征向量為列組成的矩陣，則1 1 2 2( , , , ) ( )r r i j n re e e x? ? ? ???X， X矩陣中每一行對應空間中的一個點，第i行即為iX。令12( , , , )rd ia g ? ? ??Λ，那么， ????B X X Γ Λ Γ （ 10 . 6 ） 1 / 2?X Γ Λ （ 10 . 7 ） ? 即i j i jb X X??。由于 ， 2 2 2 221 1 1 11 1 1 1()2n n n ni j i j i j i j i jj i i jb d d d dn n n? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?， 因此， 2( ) ( ) 22i j i j i i j j i jii jj ij ijX X X X X X X X X Xb b b d? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 這樣說明X正好是X正好 為D的一個構圖，D是歐氏型的 。 通過上面的討論我們知道，只要按公式（ 10. 5 ）求出各個點對之間的內積，求得內積矩陣B的r個非零特征值及所對應的一組特征向量，據(jù)公式 （ 10 . 7 ） 即可求出 X 矩陣的r個列向量或空間n個點的坐標。 ? 這里需要特別注意，并非所有的距離陣都存在一個 r維的歐氏空間和 n個點，使得 n個點之間的距離等于 D。因而，并不是所有的距離陣都是歐氏距離陣，還存在非歐氏距離陣。 ? 當距離陣為歐氏時，可求得一個 D的構圖 X，當距離陣不是歐氏時，只能求得 D的擬合構圖。在實際應用中，即使 D為歐氏，一般也只求 r =2或 3的低維擬合構圖。 ? 值得注意的是，由于多維標度法求解的 n個點僅僅要求它們的相對歐氏距離與 D相近，也就是說，只與相對位置相近而與絕對位置無關，根據(jù)歐氏距離在正交變換和平移變換下的不變性，顯然所求得解并不唯一。 三、度量 MDS的古典解 ? 根據(jù)上述古典多維標度法的基本思想及方法，可給出求古典解的一般步驟： （ 1 ）根據(jù)距離陣數(shù)據(jù)，按照公式（ 10 . 5 ）計算出ijb； （ 2 ）根據(jù)ijb構造出內積矩陣 B ； （ 3 ）計算內積矩陣 B 的特征值12 n? ? ?? ? ?和r個最大特征值12 0r? ? ?? ? ? ?對應的 單位特征向量。 其中， r的確定有兩種方法：一是事先確定 r =1, 2 或 3 ；二是通過計算前 r 個大于零的特征值占全體特征值的比例 ? 確定。 12012rn? ? ???? ? ?? ? ???? ? ? 0?預先給定的變差貢獻比例。 （ 4）根據(jù)（ ）式計算 ，得到 r維擬合構圖（簡稱古典解）。 這里需要注意，如果 λ i中有負值，表明 D是非歐氏型的。 （一）已知距離矩陣的 CMDS計算 ? 以前述美國 10城市間的飛行距離數(shù)據(jù)來說明古典度量多維標度法的計算過程。 ? 表 10城市間的飛行距離為比率測度。數(shù)值越大表明距離越遠，數(shù)值越小表明距離越短，符合廣義距離陣的定義，又只涉及一個距離陣，因此為度量 CMDS。 ? 根據(jù)上述度量古典 CMDS的計算方法，首先可求得內積矩陣，結果見表 。 ?X 5 3 7 1 3 8 2 2 7 6 7 4 .7 3 4 8 1 2 2 1 9 8 9 6 8 .7 8 0 8 3 4 3 8 9 4 8 5 7 .1 6 9 6 6 9 6 .2 1 0 0 5 1 3 1 1 0 5 0 1 8 3 6 5 6 4 4 4 .9 2 2 7 6 7 4 .7 2 6 2 7 8 0 .5 1 7 4 0 2 9 1 3 4 3 1 0 5 9 3 9 8 6 2 3 4 4 1 4 .3 5 8 5 0 8 5 5 8 0 7 3 2 3 1 5 3 8 4 4 8 8 4 8 6 .2 3 4 8 1 2 2 1 7 4 0 2 9 2 3 5 5 6 1 .7 9 2 4 3 9 . 5 5 6 9 6 3 6 .6 5 6 3 0 6 1 5 0 4 4 2 0 6 8 1 4 4 0 .4 6 5 8 3 7 0 .2 4 6 2 9 3 7 1 9 8 9 6 8 .7 1 3 4 3 1 0 9 2 4 3 9 . 5 3 5 2 2 0 0 .4 2 9 2 9 8 .4 7 5 1 6 2 8 4 .3 1 2 4 2 2 1 1 6 2 9 5 2 5 5 0 0 3 0 3 2 7 9 9 . 4 8 0 8 3 4 3 5 9 3 9 8 6 5 6 9 6 3 6 .6 2 9 2 9 8 .4 7 1 5 9 4 2 7 3 1 1 2 9 6 2 8 1 4 9 8 6 8 5 1 7 5 0 8 9 2 1 3 9 9 1 0 6 1 3 1 2 5 6 3 8 9 4 8 5 7 .1 2 3 4 4 1 4 .3 5 6 3 0 6 1 5 1 6 2 8 4 .3 1 1 2 9 6 2 8 1 6 1 7 3 9 2 9 2 0 3 4 3 .3 1 5 4 1 7 6 2 1 8 6 6 8 7 2 9 1 8 0 32 6 9 6 6 9 6 .2 5 8 5 0 8 5 5 0 4 4 2 0 1 2 4 2 2 1 1 4 9 8 6 8 5 9 2 0 3 4 3 .3 1 4 1 5 7 5 8 1 5 8 3 1 8 1 1 1 2 9 5 4 3 1 2 2 2 1 6 7 1 0 0 5 1 3 1 5 8 0 7 3 2 6 8 1 4 4 0 .4 1 6 2 9 5 2 1 7 5 0 8 9 2 1 5 4 1 7 6 2 1 5 8 3 1 8 1 2 0 2 7 9 2 0 1 8 4 5 9 2 8 1 4 3 2 4 2 2 1 0 5 0 1 8 3 3 1 5 3 8 4 6 5 8 3 7 0 .2 5 5 0 0 3 0 1 3 9 9 1 0 6 1 8 6 6 8 7 2 1 1 2 9 5 4 3 1 8 4 5 9 2 8 2 1 2 3 6 2 0 1 1 1 5 0 1 0 6 5 6 4 4 4 .9 4 8 8 4 8 6 .2 4 6 2 9 3 7 3 2 7 9 9 . 4 1 3 1 2 5 6 3 9 1 8 0 3 2 1 2 2 2 1 6 7 1 4 3 2 4 2 2 1 1 1 5 0 1 0 1 0 7 0 6 0 1 表 美國 10城市內積矩陣 B ? B 的特征值： λ 1 ＝ 9582144 ， λ 2 ＝ 1686820 ， λ 3 ＝ 8157 ， λ 4 ＝ 1433 ， λ 5 ＝ 509 ， λ 6 ＝ 26 ， λ 7 ＝ 0. 35 ， λ 8 ＝ 898 ， λ 9 ＝ 5468 ， λ 10 ＝ 35479 。1221 2 1 09 5 8 2 1 4 4 1 6 8 6 8 2 09 5 8 2 1 4 4 1 6 8 6 8 2 0 8 1 5 7 1 4 3 3 5 0 9 2 6 0 . 3 5 8 9 8 5 4 6 8 3 5 4790 . 9 9 5 9 6 9???? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? 因此取 r =2 。按照（ 10 . 7 ）式得到如下結果： 11 e? 22 e? 1e 2e