【正文】 因為目標函數(shù)中出現(xiàn)了二次項。+(R220)178。+(R5(10))178。達到這個目標的函數(shù)是 ? min (R125)178。如果第 1年代表的方案最終反映了未來 12個月發(fā)生的情形，在方案 1下投資組合回報是 ? +++++=R1 ? 同樣地，如果方案 2～ 5反映了在未來 12個月得到的回報，在方案 2～ 5下投資組合的回報如下所示： ? 方案 2回報： ? +++++=R2 ? 方案 3回報： ? ++++=R3 ? 方案 4回報： ? ++++=R4 ? 方案 5回報： ? ++=R5 ? 接下來，對每個方案我們計算方案回報和標準普爾500的回報間的差值。 ? PS—— 投資于外國股票共有基金的投資組合比例 ? IB—— 投資于中期證券基金的投資組合比例 ? LG—— 投資于大市值成長基金的投資組合比例 ? LV—— 投資于大市值價值基金的投資組合比例 ? SG—— 投資于小市值成長基金的投資組合比例 ? SV—— 投資于小市值價值基金的投資組合比例 ? 在第 的約束下，通過選擇投資于每個共有基金的投資組合比例，來最大化利益。為了能最大化模擬整個標準普爾 500指數(shù)的績效，投資組合的每個共有基金應(yīng)該被投資的比例是多少？ ? 表 82在表 54（見第五章）的基礎(chǔ)上添加了一行，給出了對每個計劃方案的標準普爾 500的回報。事實上，大部分共有基金管理者的效績都不如領(lǐng)導(dǎo)性的市場指數(shù)，如標準普爾 500。例如，頭兩個指數(shù)化基金是股票基金：標準普爾 500指數(shù)化基金和 MSCI廣泛市場基金。指數(shù)化基金的核心思想是構(gòu)建一個股票、共有基金或其他有價證券的投資組合，盡可能接近像標準普爾 500這樣的泛市場指數(shù)的績效。在這一節(jié)中我們研究一個重要的相關(guān)應(yīng)用。這是因為典型的非線性問題中可允許的增量和減量為 0。記得對偶價格是約束條件右側(cè)值每增加一單位最優(yōu)解值的改進。然而在線性約束的條件集上最小化凸二次函數(shù)的問題是相對容易的，而且對這類問題也沒有風(fēng)險會在不是整體最小值的局部最小值處碰到卡殼。局部最小值之一也是整體最小值，局部最大值之一也是整體最大值。凹函數(shù)和凸函數(shù)很好處理，但是，一些非線性函數(shù)有多個局部最優(yōu)值。點（ 0， 0）是一個局部最小值和整體最小值，因為再沒有一個 X和 Y的值能使目標函數(shù)的值小于 0。考慮函數(shù) f（ X， Y） =X2+Y2。 ? 圖 84 凹函數(shù) f（ X， Y） = X2Y2 ? Par公司非線性問題的目標函數(shù)是凹函數(shù)的另一個例子。點（ 0， 0）是一個局部最大值；但它也是一個整體最大值，因為沒有點能有更大的函數(shù)值了。 ? 考慮函數(shù) f（ X， Y） = X2Y2 。 ? 有多個局部最優(yōu)解的非線性問題是很難求解的。在一個最大化問題的例子中，整體最優(yōu)對應(yīng)整體最大化。例如，在受約束 Par問題中，局部最優(yōu)對應(yīng)局部最大值；如果沒有其他有更大目標函數(shù)值的可行解在臨近域找到，這個點就是局部最大值。因此，非線性規(guī)劃算法比線性規(guī)劃算法更加復(fù)雜，其細節(jié)超出了本書的范圍。 ? 非線性最優(yōu)化問題的最優(yōu)解也可能位于可行域內(nèi)部。這個解提供了最大的可能利潤。 ? 因為 45 000美元的利潤等位線的一部分切入了可行域，我們知道有無限個標準包豪華包組合能產(chǎn)生 45 000美元的利潤。在同一等位向上的每個點都有相同的利潤。 ? 6個標準包和 4個豪華包的最優(yōu)解的圖形見圖 8— 3所示。目標函數(shù)的最優(yōu)值是 49 。 Par公司受約束的非線性最大化問題的完整數(shù)學(xué)模型如下： ? Max 80S1/15S2+150D1/5D2 ? . ? 7/10S+D≤630 切割和印染 ? 1/2S+5/6D≤600 縫合 ? S+2/3D≤708 成型 ? 1/10S+1/4D≤135 檢測與包裝 ? S， D≥0 ? 除了非線性目標函數(shù)，這個最大化問題與第二章中的 Par公司問題完全一樣。例如 ,切割和印染的約束是 ? 7/10S+D≤630 ? 600個標準包和 375個豪華包的生產(chǎn)數(shù)量要求 7/10*600+1*375=795小時，這超出了 630小時的限制 165個小時。對應(yīng)價格是標準包 110美元和豪華包 225美元。用得到式（ 84）相同的邏輯，豪華包的利潤是 ? PDD150D=(300D/5)D150D=150DD/5 ? 總利潤是標準包利潤和豪華包利潤之和。如果生產(chǎn)一個標準包的成本是70美元，生產(chǎn) S個標準包的成本是 70S。價格和需求間常常存在一個相反的關(guān)系。 ? 一個無約束問題 ? 讓我們考慮修改后的第 2章中的 Par公司問題。我們首先考慮價格和銷售數(shù)量間關(guān)系造成目標函數(shù)非線性的情形。模型最初為Flexjet節(jié)約了 5400萬美元，而計劃的年節(jié)約為 2700萬美元。在 Flexjet模型中，子問題是非線性整數(shù)規(guī)劃。擁有太多直接求解的變量的模型。 ? 為 Flexjet開發(fā)的排程系統(tǒng)包括一個大型的非線性最優(yōu)化模型 ,該模型整合了 Flexjet職工使用的圖形用戶界面（ GUI）。然而，這項任務(wù)很快被證明是不可行的。這類使用飛機的公司每月需支付管理費和使用費。本章后的附錄描述了如何用 LINGO和 Excel規(guī)劃求解來求解非線性規(guī)劃。在第 ，我們介紹了一個用于預(yù)測新產(chǎn)品銷售或采納的著名且成功的模型。我們考慮一個目標函數(shù)是決策變量的非線性函數(shù)的生產(chǎn)問題，以此來開始這一章非線性應(yīng)用的研究。例如，一個債券的價格是利率的非線性函數(shù)，一個優(yōu)先購股權(quán)的價格是優(yōu)先股票價格的非線性函數(shù)。生產(chǎn)的邊際成本常常隨著生產(chǎn)數(shù)量的增加而減少，一個產(chǎn)品的需求數(shù)量常常是價格的非線性函數(shù)。在第 8..2節(jié)中，我們建立了一個關(guān)于設(shè)計有價證券的投資組合來跟蹤股票市場指數(shù)的非線性應(yīng)用。作為對非線性最優(yōu)化應(yīng)用在實踐中更進一步的說明，實踐中的管理科學(xué) 《 為 Bombardier Flexjet安排航程和全體人員 》 ，討論了 Flexjet如何應(yīng)用非線性最優(yōu)化來分配飛機和人員。 ? 專欄 81 實踐中的管理科學(xué) ? 為 Bombardier Flexjet 安排航程和全體人員 ? Bombardier Flexjet 是一家發(fā)展迅速的支線飛機行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)性公司。為所收取的管理費， Flexjet會為購買使用權(quán)的公司提供飛機棚設(shè)備、維修以及空勤人員。事實上，不適當(dāng)?shù)氖止ぐ才胖率?Flexjet供養(yǎng)著多余的商務(wù)噴氣飛機和空勤人員。模型包含了基于聯(lián)邦飛行管理局（ FAA）規(guī)章、公司制度以及飛機性能特征的“硬性”約束條件，也包含了關(guān)于成本權(quán)衡的“軟性”約束條件。常常使用分解法來求解。非線性的中心是一個二維變量和一個連續(xù)變量的乘積，如果一段航程被使用，這個二維變量即為 1，這個連續(xù)變量用于給飛行時間加上時間窗。節(jié)約成本的大部分來自于減少 20%的人員和 40%的飛機庫存。接著求解得到無約束非線性規(guī)劃，并且我們觀察到無約束最優(yōu)解不能滿足生產(chǎn)約束條件。記得 Par公司決定制造標準的和豪華的高爾夫包。隨著價格升高，需求數(shù)量卻下降。因此生產(chǎn)和銷售 S個標準包的利潤（收益 成本）是 ? PsS70S (83 ? 我們求解（ 81）式中的 Ps,可以得到標準包的價格是如何用售出的標準包數(shù)目來表示的。因此，總利潤可寫為 ? 總利潤 =80SS/15+150DD/5 ? 注意兩個線性需求函數(shù)，式（ 81）和式（ 82），給出了一個非線性總利潤函數(shù)式（ 85）。以及利潤是 52125美元。 Par公司原來問題的可行域以及無約束最優(yōu)解點（ 600， 375）如圖 8— 1所示。這個受約束非線性最大化問題的 LINGO解如圖 8—2所示。變量部分顯示最優(yōu)解是生產(chǎn) 6個標準包和 4個豪華包。 ? 圖 8— 3 帶有目標函數(shù)等位線的 Par公司可行域 ? 注意最優(yōu)解不再在可行域的頂端點上了，而在切割印染約束條件線上， ? 7/10S+D=630 ? 但是也不是在切割印染約束條件和成型約束條件的交叉部分形成的端點上，或在有切割印染約束條件和檢測包裝約束條件的交叉部分形成的端點上。這些等位線分別代表了 45 000美元、 49 51 500美元的利潤。無限數(shù)目的標準包豪華包組合也提供了 51 500美元的利潤 .但是 ,51 500美元利潤等位線上沒有點在可行域內(nèi)。沒有利潤大于 49 。例如，如果在 Par公司問題中約束條件的右側(cè)值全部增加一個足夠的量，使可行域擴大，這樣圖 8— 3中最優(yōu)無約束解點（ 600，375）將會在可行域的內(nèi)部。計算機軟件如 LINGO和 Excel規(guī)劃求解，可以用來求解非線性規(guī)劃問題，我們在本章附錄中將描述如何如使用這些軟件包。相似地，對一個最小化問題，如果沒有其他有更小目標函數(shù)值的可行解在臨近域找到，這個點就是局部最小值。如果在可行域內(nèi)沒有其他點能有嚴格更大的目標函數(shù)值，這個點就是整體最大值。但在許多非線性應(yīng)用中，一個唯一的局部最優(yōu)解也是也是整體最優(yōu)解。這個函數(shù)的形狀如圖 84所示。換句話說，在沒有一個 X和 Y的值能使目標函數(shù)值大于 0。 ? 一般來說，如果在二次方程中的所有二次項都有一個負系數(shù)，并且沒有交叉乘積項，如 xy，那么函數(shù)是一個凹二次函數(shù)。這個函數(shù)的形狀如圖 85所示。凸函數(shù)，像 f（ X， Y） = X2+Y2這種的，有唯一的局部最小值，是相對容易最小化的。例如，圖 86顯示的下面函數(shù)的圖像： ? f（ X， Y） =3（ 1X） 2eX2(Y+1)210(X/5X3Y5)eX2Y2eX2(Y+1)2/3 ? 圖中的山和谷說明這個函數(shù)有多個局部最大值和局部最小值。 ? 從技術(shù)立場看，有多個局部最優(yōu)值的函數(shù)給最優(yōu)化軟件提出了一個嚴峻的挑戰(zhàn)；大多數(shù)非線性最優(yōu)化軟件方法會碰到“卡殼”，并在一個局部最優(yōu)解上終止。相似地，在線性約束的條件集上最大化凹二次函數(shù)的問題也是相對容易求解的，不會在一個不是整體最大值的局部最大值上碰到卡殼。大部分非線性最優(yōu)化軟件（如 LINGO）提供了對偶價格信息。也就是說，如果你改變右側(cè)值，即使是一個很小的量，對偶價格都會改變。 ? 指數(shù)化證券投資基金是公有基金行業(yè)中一個相當(dāng)流行的投資手段。 ? 表 81顯示了 Vanguard4個指數(shù)化基金的一年期回報，以及對應(yīng)市場指數(shù)的回報。 MSCI REIT基金是一個在房地產(chǎn)市場上的投資，短基債券（ Lehmanl5）基金是一個在公司債券市場上的投資。因此，許多投資者都滿足于這類投資，其能提供更接近于市場回報的回報。還記得列顯示了每