【正文】 因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)中出現(xiàn)了二次項(xiàng)。+(R220)178。+(R5(10))178。達(dá)到這個(gè)目標(biāo)的函數(shù)是 ? min (R125)178。如果第 1年代表的方案最終反映了未來(lái) 12個(gè)月發(fā)生的情形，在方案 1下投資組合回報(bào)是 ? +++++=R1 ? 同樣地，如果方案 2～ 5反映了在未來(lái) 12個(gè)月得到的回報(bào)，在方案 2～ 5下投資組合的回報(bào)如下所示： ? 方案 2回報(bào)： ? +++++=R2 ? 方案 3回報(bào)： ? ++++=R3 ? 方案 4回報(bào)： ? ++++=R4 ? 方案 5回報(bào)： ? ++=R5 ? 接下來(lái)，對(duì)每個(gè)方案我們計(jì)算方案回報(bào)和標(biāo)準(zhǔn)普爾500的回報(bào)間的差值。 ? PS—— 投資于外國(guó)股票共有基金的投資組合比例 ? IB—— 投資于中期證券基金的投資組合比例 ? LG—— 投資于大市值成長(zhǎng)基金的投資組合比例 ? LV—— 投資于大市值價(jià)值基金的投資組合比例 ? SG—— 投資于小市值成長(zhǎng)基金的投資組合比例 ? SV—— 投資于小市值價(jià)值基金的投資組合比例 ? 在第 的約束下，通過(guò)選擇投資于每個(gè)共有基金的投資組合比例，來(lái)最大化利益。為了能最大化模擬整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)普爾 500指數(shù)的績(jī)效，投資組合的每個(gè)共有基金應(yīng)該被投資的比例是多少？ ? 表 82在表 54（見第五章）的基礎(chǔ)上添加了一行，給出了對(duì)每個(gè)計(jì)劃方案的標(biāo)準(zhǔn)普爾 500的回報(bào)。事實(shí)上，大部分共有基金管理者的效績(jī)都不如領(lǐng)導(dǎo)性的市場(chǎng)指數(shù)，如標(biāo)準(zhǔn)普爾 500。例如，頭兩個(gè)指數(shù)化基金是股票基金：標(biāo)準(zhǔn)普爾 500指數(shù)化基金和 MSCI廣泛市場(chǎng)基金。指數(shù)化基金的核心思想是構(gòu)建一個(gè)股票、共有基金或其他有價(jià)證券的投資組合，盡可能接近像標(biāo)準(zhǔn)普爾 500這樣的泛市場(chǎng)指數(shù)的績(jī)效。在這一節(jié)中我們研究一個(gè)重要的相關(guān)應(yīng)用。這是因?yàn)榈湫偷姆蔷€性問(wèn)題中可允許的增量和減量為 0。記得對(duì)偶價(jià)格是約束條件右側(cè)值每增加一單位最優(yōu)解值的改進(jìn)。然而在線性約束的條件集上最小化凸二次函數(shù)的問(wèn)題是相對(duì)容易的，而且對(duì)這類問(wèn)題也沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)會(huì)在不是整體最小值的局部最小值處碰到卡殼。局部最小值之一也是整體最小值，局部最大值之一也是整體最大值。凹函數(shù)和凸函數(shù)很好處理，但是，一些非線性函數(shù)有多個(gè)局部最優(yōu)值。點(diǎn)（ 0， 0）是一個(gè)局部最小值和整體最小值，因?yàn)樵贈(zèng)]有一個(gè) X和 Y的值能使目標(biāo)函數(shù)的值小于 0?？紤]函數(shù) f（ X， Y） =X2+Y2。 ? 圖 84 凹函數(shù) f（ X， Y） = X2Y2 ? Par公司非線性問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是凹函數(shù)的另一個(gè)例子。點(diǎn)（ 0， 0）是一個(gè)局部最大值；但它也是一個(gè)整體最大值，因?yàn)闆](méi)有點(diǎn)能有更大的函數(shù)值了。 ? 考慮函數(shù) f（ X， Y） = X2Y2 。 ? 有多個(gè)局部最優(yōu)解的非線性問(wèn)題是很難求解的。在一個(gè)最大化問(wèn)題的例子中，整體最優(yōu)對(duì)應(yīng)整體最大化。例如，在受約束 Par問(wèn)題中，局部最優(yōu)對(duì)應(yīng)局部最大值；如果沒(méi)有其他有更大目標(biāo)函數(shù)值的可行解在臨近域找到，這個(gè)點(diǎn)就是局部最大值。因此，非線性規(guī)劃算法比線性規(guī)劃算法更加復(fù)雜，其細(xì)節(jié)超出了本書的范圍。 ? 非線性最優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解也可能位于可行域內(nèi)部。這個(gè)解提供了最大的可能利潤(rùn)。 ? 因?yàn)?45 000美元的利潤(rùn)等位線的一部分切入了可行域，我們知道有無(wú)限個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包豪華包組合能產(chǎn)生 45 000美元的利潤(rùn)。在同一等位向上的每個(gè)點(diǎn)都有相同的利潤(rùn)。 ? 6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包和 4個(gè)豪華包的最優(yōu)解的圖形見圖 8— 3所示。目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值是 49 。 Par公司受約束的非線性最大化問(wèn)題的完整數(shù)學(xué)模型如下： ? Max 80S1/15S2+150D1/5D2 ? . ? 7/10S+D≤630 切割和印染 ? 1/2S+5/6D≤600 縫合 ? S+2/3D≤708 成型 ? 1/10S+1/4D≤135 檢測(cè)與包裝 ? S， D≥0 ? 除了非線性目標(biāo)函數(shù)，這個(gè)最大化問(wèn)題與第二章中的 Par公司問(wèn)題完全一樣。例如 ,切割和印染的約束是 ? 7/10S+D≤630 ? 600個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包和 375個(gè)豪華包的生產(chǎn)數(shù)量要求 7/10*600+1*375=795小時(shí)，這超出了 630小時(shí)的限制 165個(gè)小時(shí)。對(duì)應(yīng)價(jià)格是標(biāo)準(zhǔn)包 110美元和豪華包 225美元。用得到式（ 84）相同的邏輯，豪華包的利潤(rùn)是 ? PDD150D=(300D/5)D150D=150DD/5 ? 總利潤(rùn)是標(biāo)準(zhǔn)包利潤(rùn)和豪華包利潤(rùn)之和。如果生產(chǎn)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包的成本是70美元，生產(chǎn) S個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包的成本是 70S。價(jià)格和需求間常常存在一個(gè)相反的關(guān)系。 ? 一個(gè)無(wú)約束問(wèn)題 ? 讓我們考慮修改后的第 2章中的 Par公司問(wèn)題。我們首先考慮價(jià)格和銷售數(shù)量間關(guān)系造成目標(biāo)函數(shù)非線性的情形。模型最初為Flexjet節(jié)約了 5400萬(wàn)美元，而計(jì)劃的年節(jié)約為 2700萬(wàn)美元。在 Flexjet模型中，子問(wèn)題是非線性整數(shù)規(guī)劃。擁有太多直接求解的變量的模型。 ? 為 Flexjet開發(fā)的排程系統(tǒng)包括一個(gè)大型的非線性最優(yōu)化模型 ,該模型整合了 Flexjet職工使用的圖形用戶界面（ GUI）。然而，這項(xiàng)任務(wù)很快被證明是不可行的。這類使用飛機(jī)的公司每月需支付管理費(fèi)和使用費(fèi)。本章后的附錄描述了如何用 LINGO和 Excel規(guī)劃求解來(lái)求解非線性規(guī)劃。在第 ，我們介紹了一個(gè)用于預(yù)測(cè)新產(chǎn)品銷售或采納的著名且成功的模型。我們考慮一個(gè)目標(biāo)函數(shù)是決策變量的非線性函數(shù)的生產(chǎn)問(wèn)題，以此來(lái)開始這一章非線性應(yīng)用的研究。例如，一個(gè)債券的價(jià)格是利率的非線性函數(shù)，一個(gè)優(yōu)先購(gòu)股權(quán)的價(jià)格是優(yōu)先股票價(jià)格的非線性函數(shù)。生產(chǎn)的邊際成本常常隨著生產(chǎn)數(shù)量的增加而減少，一個(gè)產(chǎn)品的需求數(shù)量常常是價(jià)格的非線性函數(shù)。在第 8..2節(jié)中，我們建立了一個(gè)關(guān)于設(shè)計(jì)有價(jià)證券的投資組合來(lái)跟蹤股票市場(chǎng)指數(shù)的非線性應(yīng)用。作為對(duì)非線性最優(yōu)化應(yīng)用在實(shí)踐中更進(jìn)一步的說(shuō)明，實(shí)踐中的管理科學(xué) 《 為 Bombardier Flexjet安排航程和全體人員 》 ，討論了 Flexjet如何應(yīng)用非線性最優(yōu)化來(lái)分配飛機(jī)和人員。 ? 專欄 81 實(shí)踐中的管理科學(xué) ? 為 Bombardier Flexjet 安排航程和全體人員 ? Bombardier Flexjet 是一家發(fā)展迅速的支線飛機(jī)行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)性公司。為所收取的管理費(fèi)， Flexjet會(huì)為購(gòu)買使用權(quán)的公司提供飛機(jī)棚設(shè)備、維修以及空勤人員。事實(shí)上，不適當(dāng)?shù)氖止ぐ才胖率?Flexjet供養(yǎng)著多余的商務(wù)噴氣飛機(jī)和空勤人員。模型包含了基于聯(lián)邦飛行管理局（ FAA）規(guī)章、公司制度以及飛機(jī)性能特征的“硬性”約束條件，也包含了關(guān)于成本權(quán)衡的“軟性”約束條件。常常使用分解法來(lái)求解。非線性的中心是一個(gè)二維變量和一個(gè)連續(xù)變量的乘積，如果一段航程被使用，這個(gè)二維變量即為 1，這個(gè)連續(xù)變量用于給飛行時(shí)間加上時(shí)間窗。節(jié)約成本的大部分來(lái)自于減少 20%的人員和 40%的飛機(jī)庫(kù)存。接著求解得到無(wú)約束非線性規(guī)劃，并且我們觀察到無(wú)約束最優(yōu)解不能滿足生產(chǎn)約束條件。記得 Par公司決定制造標(biāo)準(zhǔn)的和豪華的高爾夫包。隨著價(jià)格升高，需求數(shù)量卻下降。因此生產(chǎn)和銷售 S個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包的利潤(rùn)（收益 成本）是 ? PsS70S (83 ? 我們求解（ 81）式中的 Ps,可以得到標(biāo)準(zhǔn)包的價(jià)格是如何用售出的標(biāo)準(zhǔn)包數(shù)目來(lái)表示的。因此，總利潤(rùn)可寫為 ? 總利潤(rùn) =80SS/15+150DD/5 ? 注意兩個(gè)線性需求函數(shù)，式（ 81）和式（ 82），給出了一個(gè)非線性總利潤(rùn)函數(shù)式（ 85）。以及利潤(rùn)是 52125美元。 Par公司原來(lái)問(wèn)題的可行域以及無(wú)約束最優(yōu)解點(diǎn)（ 600， 375）如圖 8— 1所示。這個(gè)受約束非線性最大化問(wèn)題的 LINGO解如圖 8—2所示。變量部分顯示最優(yōu)解是生產(chǎn) 6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)包和 4個(gè)豪華包。 ? 圖 8— 3 帶有目標(biāo)函數(shù)等位線的 Par公司可行域 ? 注意最優(yōu)解不再在可行域的頂端點(diǎn)上了，而在切割印染約束條件線上， ? 7/10S+D=630 ? 但是也不是在切割印染約束條件和成型約束條件的交叉部分形成的端點(diǎn)上，或在有切割印染約束條件和檢測(cè)包裝約束條件的交叉部分形成的端點(diǎn)上。這些等位線分別代表了 45 000美元、 49 51 500美元的利潤(rùn)。無(wú)限數(shù)目的標(biāo)準(zhǔn)包豪華包組合也提供了 51 500美元的利潤(rùn) .但是 ,51 500美元利潤(rùn)等位線上沒(méi)有點(diǎn)在可行域內(nèi)。沒(méi)有利潤(rùn)大于 49 。例如，如果在 Par公司問(wèn)題中約束條件的右側(cè)值全部增加一個(gè)足夠的量，使可行域擴(kuò)大，這樣圖 8— 3中最優(yōu)無(wú)約束解點(diǎn)（ 600，375）將會(huì)在可行域的內(nèi)部。計(jì)算機(jī)軟件如 LINGO和 Excel規(guī)劃求解，可以用來(lái)求解非線性規(guī)劃問(wèn)題，我們?cè)诒菊赂戒浿袑⒚枋鋈绾稳缡褂眠@些軟件包。相似地，對(duì)一個(gè)最小化問(wèn)題，如果沒(méi)有其他有更小目標(biāo)函數(shù)值的可行解在臨近域找到，這個(gè)點(diǎn)就是局部最小值。如果在可行域內(nèi)沒(méi)有其他點(diǎn)能有嚴(yán)格更大的目標(biāo)函數(shù)值，這個(gè)點(diǎn)就是整體最大值。但在許多非線性應(yīng)用中，一個(gè)唯一的局部最優(yōu)解也是也是整體最優(yōu)解。這個(gè)函數(shù)的形狀如圖 84所示。換句話說(shuō)，在沒(méi)有一個(gè) X和 Y的值能使目標(biāo)函數(shù)值大于 0。 ? 一般來(lái)說(shuō)，如果在二次方程中的所有二次項(xiàng)都有一個(gè)負(fù)系數(shù)，并且沒(méi)有交叉乘積項(xiàng)，如 xy，那么函數(shù)是一個(gè)凹二次函數(shù)。這個(gè)函數(shù)的形狀如圖 85所示。凸函數(shù)，像 f（ X， Y） = X2+Y2這種的，有唯一的局部最小值，是相對(duì)容易最小化的。例如，圖 86顯示的下面函數(shù)的圖像： ? f（ X， Y） =3（ 1X） 2eX2(Y+1)210(X/5X3Y5)eX2Y2eX2(Y+1)2/3 ? 圖中的山和谷說(shuō)明這個(gè)函數(shù)有多個(gè)局部最大值和局部最小值。 ? 從技術(shù)立場(chǎng)看，有多個(gè)局部最優(yōu)值的函數(shù)給最優(yōu)化軟件提出了一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)；大多數(shù)非線性最優(yōu)化軟件方法會(huì)碰到“卡殼”，并在一個(gè)局部最優(yōu)解上終止。相似地，在線性約束的條件集上最大化凹二次函數(shù)的問(wèn)題也是相對(duì)容易求解的，不會(huì)在一個(gè)不是整體最大值的局部最大值上碰到卡殼。大部分非線性最優(yōu)化軟件（如 LINGO）提供了對(duì)偶價(jià)格信息。也就是說(shuō)，如果你改變右側(cè)值，即使是一個(gè)很小的量，對(duì)偶價(jià)格都會(huì)改變。 ? 指數(shù)化證券投資基金是公有基金行業(yè)中一個(gè)相當(dāng)流行的投資手段。 ? 表 81顯示了 Vanguard4個(gè)指數(shù)化基金的一年期回報(bào)，以及對(duì)應(yīng)市場(chǎng)指數(shù)的回報(bào)。 MSCI REIT基金是一個(gè)在房地產(chǎn)市場(chǎng)上的投資，短基債券（ Lehmanl5）基金是一個(gè)在公司債券市場(chǎng)上的投資。因此，許多投資者都滿足于這類投資，其能提供更接近于市場(chǎng)回報(bào)的回報(bào)。還記得列顯示了每