【正文】 22 121 qlΧ ? 解得 5) 繪制彎矩圖 。 由基本結(jié)構(gòu)在多余未知力 X1 、 X2及荷載的共同作用下 ， 應(yīng)滿足在 A端和 B端的角位移等于零的位移條件 。 【 解 】 1) 選取基本結(jié)構(gòu) 。 （ 5） 繪制原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖 。 （ 3） 計(jì)算力法方程的系數(shù)和自由項(xiàng) 。 力法的計(jì)算步驟和舉例 根據(jù)以上所述 ， 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下： （ 1） 選取基本結(jié)構(gòu) 。副系數(shù)和自由項(xiàng)可能為正值 ， 可能為負(fù)值 ， 也可能為零 。 對(duì)于 n次超靜定結(jié)構(gòu) ， 用力法分析時(shí) ， 去掉 n個(gè)多余約束 ， 代之以 n個(gè)多余未知力 ， 當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的已知位移為零時(shí) ， 采用上面同樣的方法可以得到 n個(gè)方程 ， 稱為 力法典型方程 。 （ a） 這里我們?nèi)サ艄潭ㄖё?C處的多余約束 ， 用多余未知力 X X2 、 X3代替 ， 得到如圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu) 。 82ql82qlA B M圖 超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M， 也可利用已經(jīng)繪出的 圖 和 MF 圖按疊加原理繪出 ，即 。 1M(a) MF 圖 圖1)b( MX1 (a) MF 圖 圖)b( 1M 由于 MF 圖和 圖分別是基本結(jié)構(gòu)在 X1＝ 1和荷載 q作用下的彎矩圖 ， 同時(shí) 圖又可理解成為求 B點(diǎn)的豎向位移而繪制的單位荷載作用下的彎矩圖 。 X1 +Δ1F =0 上式稱為 力法方程 ， 而 δ11稱為方程的 系數(shù) ， Δ1F稱為方程的 自由項(xiàng) 。 由于在原結(jié)構(gòu)圖 (a)中 ， 支座 B處的豎向位移等于零 。 我們把多余未知力稱為力法計(jì)算的 基本未知量 。 如果把支 桿 B作為多余約束去掉 ， 并代之以多余未知力 X1， 則原結(jié)構(gòu)就轉(zhuǎn)化為圖 （ b） 所示的靜定梁 。 力矩分配法是在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種漸近解法 ， 它不需計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移 ， 而是直接分析結(jié)構(gòu)的受力情況 ， 通過(guò)代數(shù)運(yùn)算直接得到桿端彎矩值 。 因此 ， 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力 ， 不僅要考慮靜力平衡條件 ， 同時(shí)必須要考慮位移條件 。 即去掉多余約束后 ， 體系必須是無(wú)多余約束的幾何不變體系 ， 原結(jié)構(gòu)中維持平衡的必要約束是絕對(duì)不能去掉的 。 X1 (a) (b) (c) X1 用上述去掉多余約束的方式 ， 可以確定任何超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù) 。 通常情況下 ， 從超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有如下幾種： 根支桿 ， 相當(dāng)于去掉一個(gè)約束 ， 如圖所示 。而從圖 （ b） 所示剛架中去掉支桿 B， 則其仍是幾何不變的 ， 從幾何組成上看支桿 B是多余約束 ， 所以 ， 該體系有一個(gè)多余約束 ， 是一次超靜定結(jié)構(gòu) 。 圖 （ a） 所示的剛架是一個(gè)靜定結(jié)構(gòu) ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以由靜力平衡條件唯一確定 。第九章 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 內(nèi)容提要 超靜定結(jié)構(gòu)是工程中廣泛采用的結(jié)構(gòu)型式 。 圖 （ b） 所示的剛架是一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu) ， 有四個(gè)反力 ， 卻只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程 ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定 。 （ a） （ b） F FBy FAx FAy F FBy MA FAx FAy 綜上所述 ， 存在多余約束 ， 單靠靜力平衡方程不能確定所有支座反力和內(nèi)力 ， 這就是超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)的根本區(qū)別 。 X1 (a) (b) X1 X2 ， 相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束 ， 如圖所示 。 然而 ， 對(duì)于同一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu) ，可用各種不同的方式去掉多余約束而得到不同的靜定結(jié)構(gòu) 。 如圖 (a)所示的剛架 ， 如果去掉一個(gè)支座處的豎向支桿 ， 即變成了如圖 (b)所示瞬變體系 ， 這是不允許的 。 由于超靜定結(jié)構(gòu)的類型有多種 ， 不同類型的超靜定結(jié)構(gòu)適宜采用的計(jì)算方法也不同 ， 常用的計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的方法有以下 。 力法 力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu) ， 是以靜定結(jié)構(gòu)為計(jì)算對(duì)象 ， 把多余未知力作為基本未知量 ， 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程 ， 從而把計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)多余未知力的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的問(wèn)題 。 它承受著與圖 （ a） 所示原結(jié)構(gòu)相同的荷載和多余未知力 。 (b)基本結(jié)構(gòu) X1 在圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu)上 ， 多余未知力 X1是代替原結(jié)構(gòu)支座 B的作用 。 所以 ， 在基本結(jié)構(gòu)圖 (b) 中 ，B點(diǎn)由荷載 q與多余未知力 X1共同作用下在 X1方向上的位移 Δ1也應(yīng)該為零 ， 即 Δ1=0 上式稱為基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的原結(jié)構(gòu)的位移條件 ， 設(shè)Δ1F[圖 (c)]和 Δ11[圖 (d)]分別表示荷載 q與多余末知力 X1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí) ， 引起的 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移 。 因?yàn)?δ11和 Δ1F均為已知力作于靜定結(jié)構(gòu)時(shí) ， 引起的 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移 ， 所以由靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法可以求得 。 所以 ， 可用圖 乘 圖 ， 即 圖自乘 ， 則有 1M1M1M1M 1MEIllllEI 332211 311 ???????X1 同理可用 圖乘 MF圖計(jì)算 Δ1F EIqllqllEIΔ 84321311 421F ???????將 δ11和 Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。 F11 MXMM ??1M（ c） 綜上所述 ， 力法是以多余未知力作為基本未知量 ， 以去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu) ，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余約束處與原結(jié)構(gòu)完全相同的位移條件建立力法方程 ， 求解多余未知力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題 。 X2 X1 X3 （ a） （ b） 由于原結(jié)構(gòu) C處為固定支座 ， 其線位移和角位移都為零 。具體形式如下： ????????????????????????????000Fi22112F2i2222121F11i1212111nnnnninnnninniΔΧXΧΧΔΧXΧΧΔΧXΧΧ???????????????????????????????????????? 在力法典型方程的前面 n項(xiàng)中 ， 位于從左上方至右下方的一條主對(duì)角線上的系數(shù) δii稱 為主系數(shù) ，它表示 Xi=1時(shí) ， 引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 Xi方向上的位移 ， 它可利用 圖自乘求得 ,其值恒為正值；主對(duì)角線兩側(cè)的系數(shù) δij(i≠j)稱為 副系數(shù) ， 它表示 Xj =1時(shí) ，引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 Xi方向上的位移 ， 它可利用 圖與 圖互乘求得 。 iM 由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的 ， 所以力法典型方程中各系數(shù)和自由項(xiàng)都可按上一章位移計(jì)算的方法求出 。 去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束 ，以相應(yīng)的未知力代替多余約束的作用 。 利用靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式 ， 或分別繪出基本結(jié)構(gòu)在單位多余力 Xi和荷載作用下的彎矩圖 ， 然后用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng) 。 用疊加法繪制原結(jié)構(gòu)的彎矩圖 ， 進(jìn)而根據(jù)平衡條件確定剪力圖和軸力圖 。 這是一個(gè)三次超靜定梁 ， 現(xiàn)去掉 A、 B端的轉(zhuǎn)動(dòng)約束及 B端的水平約束 ， 代之以多余未知力 X XX3， 得到基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 因此力法方程為 ?????????00F2222121F1212111ΔΧΧΔΧΧ???? 3) 計(jì)算方程的系數(shù)和自由項(xiàng) 。 由 繪出最后的彎矩圖 [圖(f)] 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) X2 X1 F F 2) 建立力法方程 。 將求得的系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程 ， 消去 后得 解得 EIa30412131 21 ??? FXX096536721 21 ???? FXX)(8091 ??? FX )(40172 ?? FX ， 5) 繪制內(nèi)力圖 。 【 例 】 試計(jì)算圖示超靜定桁架各桿的軸力 。 2) 建立力法方程 。 將求得的系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程 ， 求得 ， ， （壓力）21 FX ?? 5)計(jì)算各桿最后軸力 。 在對(duì)排架的柱 (含柱頂 )進(jìn)行受力分析時(shí) ， 通常將屋架 (或屋面梁 )與柱頂間的連接簡(jiǎn)化為鉸接 。 【 例 】 試用力法計(jì)算圖示鉸接排架 ， 并繪制彎矩圖 。 （ b）基本結(jié)構(gòu) （ a）原結(jié)構(gòu) 2） 建立力法方程 。 圖 (k N .m ))e( FM圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1MF= 利用圖乘法計(jì)算 ， 由 圖自乘 ， 可得 1M22111504)6326621(1)6326621(1EIEIEI ????????????圖 (m))c( 1M由 圖自乘 ， 可得 2M2212232 2 7 0)3321031(3721)3311032(107212)3323321(2EIEIEI???????????????????????????圖 (m))d( 2M 由 圖與 圖互乘 ， 可得 1M 2M2221121 4 4)4311032(66211EIEI ????????????????? ??圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1M 由 圖與 MF圖互乘 ， 可得 1M由 圖與 MF 圖互乘 ， 可得 2M01F ?Δ2212F31 4 4 8 0)3321031(20721)3311032(1 6 07211)231332(201211EIEIEIΔ????????????????????????????????????圖 (k N .m ))e( FM圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1MF= 4） 解方程求多余未知力 。在組合結(jié)構(gòu)中 ， 梁式桿主要承受彎矩 ， 同時(shí)也承受剪力和軸力；而鏈桿只承受軸力 。 已知鏈桿的拉壓剛度 EA為常數(shù) ， 橫梁的彎曲剛度 EI=9EA。 設(shè)切斷 CD桿 ，以多余未知力 X1代替 ， 得到如圖 （ b） 所示的基本結(jié)構(gòu) 。 圖 (k N .m ))d( FMN1圖 (m ),)c( FM1M計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)如下： ? ?EAEAEAEAEI32515193631253)25(1233263211 2211?????????????????????????????? ? EAEIEI 600540002)385636032(11F ?????????? 圖 (k N .m ))d( FMN11圖 (m )，)c( FM4） 解方程求多余未知力 。 因簡(jiǎn)支梁無(wú)多余約束 ， 在支座 B位移到 B1的過(guò)程中 ， 支桿 B不起約束作用 ， 梁可以繞 A點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng) ， 在支座移動(dòng)過(guò)程中 ， 梁發(fā)生剛體位移 ， 不產(chǎn)生內(nèi)力 。 【 例 】 一單跨超靜定梁如圖所示 ， 已知固定支座 A發(fā)生轉(zhuǎn)角 ， 試?yán)L制梁的彎矩圖 。 基本結(jié)構(gòu)在多余未知力及支座移動(dòng)共同作用下在 B支座處引起的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相同 ， 因此力法方程為