【正文】 種直方圖使用的是累積頻數(shù)和累積頻率。到在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的:　　(a0，a1]，(a1，a2]，…，(ak1，ak]通常要求a0xmin，akxmax。組距相等的情況用得比較多，不過也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距?！　∫慌鷶?shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過這也不是絕對(duì)的。下面用一個(gè)例子來說明直方圖的概念及其作法。　　二、頻數(shù)(頻率)直方圖及累積頻數(shù)(頻率)直方圖　　為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性(這里為了敘述簡(jiǎn)單起見，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性)X的變化規(guī)律。但有時(shí)為了表達(dá)的方便，當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體，而把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體，把從總體中抽出的由n個(gè)產(chǎn)品的特性值x1，x2，…，xn看做為一個(gè)樣本。通常的做法是從總體中抽取一個(gè)或多個(gè)個(gè)體來進(jìn)行觀測(cè)。總體是由個(gè)體組成的。例如燈泡的壽命，鋼的成分等都是定量特性；而按規(guī)范判定產(chǎn)品為“合格”或“不合格”，則是一種定性特征。第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律　　在質(zhì)量管理中，通常研究一個(gè)過程中生產(chǎn)的全體產(chǎn)品。在上例中，這批燈泡中的每個(gè)特定的燈泡都是一個(gè)個(gè)體。抽出來的這一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本，樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本量?！　]從一個(gè)工廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的一批燈泡中抽取n=8個(gè)燈泡，進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到這8個(gè)燈泡的使用壽命為(單位為小時(shí)):　　325，84，1244，870，645，1423，1071，992　　這8個(gè)燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個(gè)樣本，樣本量n=8。為此，從這批產(chǎn)品(總體)中抽取一個(gè)樣本(設(shè)樣本量為n)，對(duì)每個(gè)樣本產(chǎn)品進(jìn)行該特性的測(cè)量(觀測(cè))后得到一組樣本觀測(cè)值，記為x1，x2，…，xn，這便是我們通常說的數(shù)據(jù)?！　　瞉食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下:　　　　為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)作如下整理:　　(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計(jì)算它們的差R=xmaxxmin，R稱為極值，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍?！　　　∵x擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值。在等距分組時(shí)，a1=a0+h，a2=a1+h，…，ak=ak1+h，而每一組的組中值　　　　在本例中取a0=。這是因?yàn)榉纸M是等距的。以累積頻率直方圖為例，首先要計(jì)算累積頻率Fi，F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加，也即第1組的F1=f1，第2組的F2=f1+f2，一般的，F(xiàn)i=fj?！　∪?、數(shù)據(jù)集中位置的度量　　對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置。　　(二)樣本中位數(shù)　　樣本中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)集中位置的另一種重要的度量，用符號(hào)Me或表示。　　與均值相比，中位數(shù)不受極端值的影響。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大，而且對(duì)大的n，也很難確定，有時(shí)也不惟一，此時(shí)較多地采用分組數(shù)據(jù)。也有一些用來表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)?！　?二)樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　數(shù)據(jù)的分散程度可以用每個(gè)數(shù)據(jù)xi離其均值的差xi來表示，xi稱為xi的離差?！　颖痉讲钫乃阈g(shù)平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即:　　　　注意標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致。在實(shí)際使用中還可以利用計(jì)算器來計(jì)算，特別是許多科學(xué)計(jì)算用的計(jì)算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算功能?！　∫弧⑹录c概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中某一個(gè)，至于哪一點(diǎn)出現(xiàn)，事先也并不知道。這里的基本結(jié)果是指今后的抽樣單元，故又稱樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω。在概率論中常用一個(gè)長(zhǎng)方形示意樣本空間Ω，用其中一個(gè)圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類圖形稱為維恩(Venn)圖。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必然事件。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間Ω由下列四個(gè)樣本點(diǎn)組成。　　現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)入考察“檢查三件產(chǎn)品”這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，它的樣本空間Ω含有23=8個(gè)樣本點(diǎn)。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的發(fā)生，故AB?！　蓚€(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容，例如在檢查三個(gè)產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個(gè)互不相容事件。　　(1)對(duì)立事件，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，由在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件，記為?！　　　?2)事件A與B的并，由事件A與B中所有樣本點(diǎn)(相同的只計(jì)入一次)組成的新事件稱為A與B的并，記為AUB。　　事件的并和交可推廣到更多個(gè)事件上去()。而在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們很關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。　　(3)購(gòu)買彩券的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)有多少呢?如1993年7月發(fā)行的青島啤酒股票的認(rèn)購(gòu)券共出售287347740張，其中有180000張認(rèn)購(gòu)券會(huì)中簽，(見1993年7月30日上海證券報(bào))。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小?！　?1)定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=1/36?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式?！　?2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)作記錄，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率是多少?　　從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有　　個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問題的樣本空間Ω?！　∈录嗀0=“恰好有0個(gè)不合格品”=“全是合格品”。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個(gè)樣本點(diǎn)。綜合這兩個(gè)不等式，可知m≤min(n，M)=r。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)，不放回，再抽下一個(gè)，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出。　　從N個(gè)產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一個(gè)，檢查后放回再抽第二個(gè)，這樣直到抽出第n個(gè)產(chǎn)品為止。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有nM(NM)n1。先計(jì)算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時(shí)，f波動(dòng)劇烈，隨著N的增大，f波動(dòng)的幅度在逐漸變小。這與用古典方法計(jì)算的概率是相同的。這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)鍵盤設(shè)計(jì)(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的。A3中所含這樣的樣本點(diǎn)較多，但其對(duì)立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個(gè)樣本點(diǎn)，從等可能性可知P()=1/8。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對(duì)立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小?！　?二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個(gè)條件概率也可以這樣來認(rèn)識(shí):當(dāng)已知事件B發(fā)生，就意味著其對(duì)立事件是不會(huì)發(fā)生了。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋。　?、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。這是因?yàn)?　　　　〔]，如今有三個(gè)標(biāo)本獨(dú)立地在實(shí)驗(yàn)室制作，問三個(gè)標(biāo)本都被污染的概率是多少?　　解:設(shè)Ai=“第i個(gè)實(shí)驗(yàn)室標(biāo)本被污染”，i=1，2，3?！　∫弧㈦S機(jī)變量　　用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。　　　　[，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性，所以每個(gè)質(zhì)量特性就是一個(gè)隨機(jī)變量。因?yàn)閄取0，1，2，…等值是隨機(jī)的。設(shè)X表示檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個(gè)值的隨機(jī)變量?！　《?、隨機(jī)變量的分布　　隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律性可以用分布來描述。這些可列在一張表上，清楚地表示出來:　　或用一個(gè)簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)式子表示出來:　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個(gè)條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1。X取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最大。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經(jīng)多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計(jì)方法整理出如下分布:　　從這個(gè)分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過5個(gè)不合格品的概率很小，這兩個(gè)事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機(jī)變量的分布　　連續(xù)隨機(jī)變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也記為f(x)?！　〖俣ㄎ覀円粋€(gè)接一個(gè)地測(cè)量產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值X，把測(cè)量得到的x值一個(gè)接一個(gè)地放在數(shù)軸上。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對(duì)每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請(qǐng)讀者在圖上標(biāo)明)?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。類似地，該推土機(jī)發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機(jī)發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計(jì)算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%。它的計(jì)算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)?！　≡凇瞉中隨機(jī)變量“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計(jì)算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和的均值為7點(diǎn)、。由此可知，推土機(jī)維修時(shí)間T的標(biāo)準(zhǔn)差σ=50分鐘?！　∮煞讲畹亩x知:　　其中xi=i?！　》粗?，若要方差大，則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大，也就是說，有若干個(gè)大偏差xiE(X)發(fā)生的概率大，或者說，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性大，(a)所示?！　?3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立(即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:　　Var(X1177。例如，把一枚硬幣連拋n次，檢驗(yàn)n個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量，對(duì)一個(gè)目標(biāo)連續(xù)射擊n次等?！　≡谏鲜鏊膫€(gè)條件下，設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的概率函數(shù)為:　　　　　　二項(xiàng)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個(gè)制造過程中，如今從成品中隨機(jī)取出6個(gè)，記X為6個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b(6，)，簡(jiǎn)記為X～b(6，)。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值，縱軸為其相應(yīng)概率。通過計(jì)算可畫出其線條圖((b))，此圖是對(duì)稱的，如P(X=2)=P(X=4)=。　　從這些例子可以看出，泊松分布總與計(jì)點(diǎn)過程相關(guān)聯(lián)，并且計(jì)點(diǎn)是在一定時(shí)間內(nèi)、或一定區(qū)域內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的，若λ表示某特定單位內(nèi)的平均點(diǎn)數(shù)(λ0)，又令X表示某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則X取x值的概率為:　　　　這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P(λ)，其中e=…　　泊松分布的均值與方差相等，且均為λ，于是有:　　E(X)=λ，Var(X)=λ，σ(X)=　　()　　〔]某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機(jī)變量，根據(jù)過去事故的記錄，這表明:X服從λ=，現(xiàn)考察如下事件的概率?！　　　?2)在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故超過2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明?！　〕瑤缀畏植糷(n，N，M)的均值、方差分別為:　　　　[]一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機(jī)抽出8桶，