20xx年黑龍江省哈爾濱師大附中高考數(shù)學(xué)四模試卷(理科)(解析版)(1)-wenkub
2023-05-01 12:17:02 本頁(yè)面
【正文】 ∠ADC=π，∴cos∠CDA=﹣cos∠BDA=，則sin∠ADC==，∵∠DAC=，∴sin∠C=sin（∠DAC+∠ADC）=sin∠DACcos∠ADC+cos∠DACsin∠ADC==在△ADC中，由正弦定理得，∴CD===7，故答案為：7． 三、解答題（本大題共5小題，、證明過(guò)程或演算步驟.）17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=（n∈N+）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=an?3an（n∈N+），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入bn=an?3an，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，符合上式．綜上，an=n．（Ⅱ）bn=an?3a=n?3n（n∈N+），則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，Tn=1?3+2?32+3?33+…+n?3n，3Tn=1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1，﹣2Tn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1，﹣2Tn=﹣n?3n+1，∴Tn=+（﹣）?3n+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，Tn=+（﹣）?3n+1． 18．調(diào)查某公司的五名推銷員，某工作年限與年推銷金額如表：推銷員ABCDE工作年限x（萬(wàn)元）23578年推銷金額y（萬(wàn)元）348（Ⅰ）畫出年推銷金額y關(guān)于工作年限x的散點(diǎn)圖，并從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)工作年限與年推銷金額之間關(guān)系的一般規(guī)律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推銷金額y關(guān)于工作年限x的回歸直線方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回歸方程，預(yù)測(cè)工作年限是10年的推銷員的年推銷金額．附： =， =﹣．【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖估計(jì)月推銷金額y與工作時(shí)間x有線性相關(guān)關(guān)系；（Ⅱ）利用公式求出線性回歸方程即可；（Ⅲ）根據(jù)線性回歸方程計(jì)算x=10時(shí)y的值，即可得到預(yù)報(bào)值．【解答】解：（Ⅰ）年推銷金額y關(guān)于工作年限x的散點(diǎn)圖：從散點(diǎn)圖可以看出，各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域里，因此，工作年限與年推銷金額之間成正相關(guān)，即工作年限越多，年推銷金額越大．（Ⅱ）=5， =5，b==，a=5﹣=，∴年推銷金額y關(guān)于工作年限x的回歸直線方程為y=x+．（Ⅲ）當(dāng)x=10時(shí)，y=10+=，∴預(yù)測(cè)工作年限是10年的推銷員的年推銷金額為萬(wàn)元． 19．長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P為A1B1中點(diǎn)，M，N，Q分別為棱AB，AA1，CC1上的點(diǎn)，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ．（Ⅰ）求證：PQ⊥平面PD1N；（Ⅱ）求二面角P﹣D1M﹣N的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PQ⊥平面PD1N．（Ⅱ）求出平面PD1M的法向量和平面D1MN的法向量，利用向量法能求出二面角P﹣D1M﹣N的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P（2，2，3），Q（0，4，1），D1（0，0，3），M（2，3，0），N（2，0，1），=（﹣2，2，﹣2），=（2，2，0），=（2，0，﹣2），∵=0， =0，∴PQ⊥D1P，PQ⊥D1N，∵D1P∩D1N=D1，∴PQ⊥平面PD1N．解：（Ⅱ） =（2，3，﹣3），=（2，2，0），=（2，0，﹣2），設(shè)平面PD1M的法向量為=（x，y，z），則，取x=3，得平面PD1M的一個(gè)法向量為=（3，﹣3，﹣1），設(shè)平面D1MN的法向量為=（a，b，c），則，取a=3，得=（3，1，3），∴cos＜＞==，由圖知二面角P﹣D1M﹣N的平面角為鈍角，∴二面角P﹣D1M﹣N的余弦值為﹣． 20．平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1： +y2=1（a＞1）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，拋物線C2：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F是橢圓C1的右焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C1與拋物線C2的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線C2于A，B兩點(diǎn)，射線OA，OB與橢圓C1的交點(diǎn)分別為C，D，若?=2?，求直線l的方程．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出橢圓C1的方程．利用=c，解得p，即可得出拋物線C2的方程．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得：y2﹣my﹣4=0，利用斜率計(jì)算公式可得kOA，進(jìn)而定點(diǎn)直線OA的方程，與橢圓方程聯(lián)立可得=2，進(jìn)而得到，利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：，利用?=2?，及其根與系數(shù)的關(guān)系解出m，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1．∴橢圓C1的方
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