【正文】 線問(wèn)題，這是解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想。解法一：由題意知直線與圓有交點(diǎn)，則.解法二：設(shè)向量，由題意知由可得答案: D評(píng)注：本題中的兩種方法都是把已知條件進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，利用化歸的思想解決問(wèn)題不適為捷徑，方法比較活躍，知識(shí)連接成網(wǎng)，這要靠我們平時(shí)積累和總結(jié)。例14．（2008陜西卷，文20）已知數(shù)列的首項(xiàng)，…．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列的前項(xiàng)和．分析：對(duì)于證明數(shù)列為等比數(shù)列，要按定義證明，但證明完后也提示我們下一步要用等比數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后進(jìn)一步判斷數(shù)列的類(lèi)型，從而求出其前項(xiàng)和。（湖北理）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．8．?dāng)?shù)列問(wèn)題的轉(zhuǎn)化例13．（2009萊陽(yáng)高三理）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列。例12．設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。6．極坐標(biāo)與參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程例10．（2008南通四縣）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是：，求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)．分析：本題既有參數(shù)方程又有極坐標(biāo)方程，用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程研究弦長(zhǎng)問(wèn)題很難解決，可以轉(zhuǎn)化為普通方程求出。解：根據(jù)三視圖，可知此幾何體為一個(gè)如圖所示的四棱錐，其體積為，故選B 答案：B 評(píng)注：高考題注重對(duì)立體幾何中的三視圖的考查，一般是給出幾何體的三視圖，讓我們還原為立體圖，然后求出一些幾何量。故選C答案：C評(píng)注：函數(shù)的單調(diào)性通常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷，而不等式恒成立又常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值問(wèn)題，本題中還要注意做題的嚴(yán)密性，等號(hào)不能丟掉。3．轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系例5．（2008山東卷，文15）已知，則的值等于 ．分析：本題中的函數(shù)不是以為整體，而是以為整體給出的解析式，所以要求函數(shù)值，需要先求關(guān)于的解析式，再代入求值。0 1 2 x解：，則，根據(jù)新運(yùn)算，得AB=故選D答案：D評(píng)注：本題是集合中的新定義運(yùn)算題，綜合考查了圖形語(yǔ)言、集合的描述法表示，函數(shù)的定義域和值域，以及集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算。例2．（2008湖北卷，理14）已知函數(shù),則 .分析：題目中的已知條件很容易求得，而所求的為可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和，根據(jù)公差，可以把前10項(xiàng)之和轉(zhuǎn)化為用表示出來(lái)，從而求得。在高考中，對(duì)化歸思想的考查，總是結(jié)合對(duì)演繹證明，運(yùn)算推理，模式構(gòu)建等理性思維能力的考查進(jìn)行，因此可以說(shuō)高考中的每一道試題，都在考查化歸意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力。（二）轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法化歸與轉(zhuǎn)化的思想確是指在解決問(wèn)題時(shí)，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科相比，一個(gè)特有的數(shù)學(xué)思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題。對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源。調(diào)整思路，克服思維障礙時(shí)，注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過(guò)一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面上的垂線，過(guò)這點(diǎn)再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足。注意分析探求解題思路時(shí)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。注意總結(jié)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的教學(xué)思想方法，揭示思想方法對(duì)形成科學(xué)的系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)的運(yùn)用，深化對(duì)知識(shí)的理解等數(shù)學(xué)活動(dòng)中指導(dǎo)作用。學(xué)生才能從中領(lǐng)悟到當(dāng)初數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思維進(jìn)程，這對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，形成數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。１、用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中培養(yǎng)思想方法。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。３、適當(dāng)章節(jié)的強(qiáng)化訓(xùn)練與貫通復(fù)課全程的反復(fù)運(yùn)用相結(jié)合的原則。各章應(yīng)有明確的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，教案中要精心設(shè)計(jì)思想方法的教學(xué)過(guò)程。其目的在于深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在綜合性強(qiáng)的練習(xí)中進(jìn)一步形成基本技能，優(yōu)化思維品質(zhì)，使學(xué)生在多次的練習(xí)中充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)能力。高考試題這種積極導(dǎo)向，決定了我們?cè)诮虒W(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法匯總目錄（一）對(duì)高考中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的思考……………………..第2頁(yè)（二）轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法…………………………………..第3頁(yè)（三）函數(shù)與方程的思想方法………………………………….第22頁(yè)（四）數(shù)形結(jié)合的思想方法…………………………………….第27頁(yè)（五）分類(lèi)整合的思想方法…………………………………….第36頁(yè)（六）必然與或然的思想方法…………………………………第61頁(yè)（一） 對(duì)高考中的思想方法的思考一、高考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的必要性。只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生的思維，全面提高數(shù)學(xué)能力，才能提高學(xué)生解題水平和應(yīng)試能力。高考復(fù)習(xí)是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思想，熟練掌握數(shù)學(xué)方法理想的難得的教學(xué)過(guò)程。２、寓思想方法的教學(xué)于完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中、于教學(xué)問(wèn)題的解決之中的原則。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的共存性、數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)作用、被認(rèn)知的思想方法只有在反復(fù)的運(yùn)用中才能被真正掌握這一教學(xué)規(guī)律，都決定了成功的思想方法和教學(xué)只能是有意識(shí)的貫通復(fù)課全程的教學(xué)。在某種思想方法應(yīng)用頻繁的章節(jié)，應(yīng)適當(dāng)強(qiáng)化這種思想方法的訓(xùn)練?；A(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)中要充分展現(xiàn)知識(shí)形成發(fā)展過(guò)程，揭示其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。注重知識(shí)在教學(xué)整體結(jié)構(gòu)中的內(nèi)在聯(lián)系，揭示思想方法在知識(shí)互相聯(lián)系、互相溝通中的紐帶作用。如函數(shù)圖象變換的復(fù)習(xí)中，我把散見(jiàn)于二次函數(shù)、反函數(shù)、正弦型函數(shù)等知識(shí)中的平移、伸縮、對(duì)稱變換，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化曲線間的關(guān)系為對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想及求相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法統(tǒng)一處理，得出圖象變換的一般結(jié)論。解題的過(guò)程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識(shí)，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識(shí)，逐步縮小題設(shè)與題斷間的差異的過(guò)程。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。通過(guò)認(rèn)真觀察，以產(chǎn)生新的聯(lián)想；分類(lèi)討論，使條件確切，結(jié)論易求；化一般為特殊，化抽象為具體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化等都值得我們一試。豐富的合理的聯(lián)想，是對(duì)知識(shí)的深刻理解，及類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。事實(shí)上，解題的過(guò)程就是一個(gè)縮小已知與求解的差異的過(guò)程，是求解系統(tǒng)趨近于目標(biāo)系統(tǒng)的過(guò)程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過(guò)程，因此每解一道題，無(wú)論是難題還是易題，都離不開(kāi)化歸。高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。解：由和知，=評(píng)注：仔細(xì)分析題目，把運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以大大地節(jié)省時(shí)間，提高做題的效率。解題的關(guān)鍵是由圖形語(yǔ)言把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為原有的普通運(yùn)算解出。解：∵，∴，則評(píng)注：有些題目中往往所給的解析式不是關(guān)于的解析式，這時(shí)需要我們把解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題中先把函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后進(jìn)行運(yùn)算。例7．（2008福建卷，理12）已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（ ）分析：注意觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象以及原函數(shù)的圖象，并把所得到的信息轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的信息，加以排除選擇。例9．（2008山東淄博市模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖中△是邊長(zhǎng)為的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)視圖的面積為（ ） BCDEFMNO 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 A． B． C． D．分析：先把三視圖還原為立體圖，再由立體圖進(jìn)行解答。解：曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為，即 直線l的參數(shù)方程，化為普通方程為x－y－1=0，曲線C的圓心（2，0）到直線l的距離為 所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)=． 評(píng)注：研究極坐標(biāo)與參數(shù)方程問(wèn)題可以直接研究，也可以轉(zhuǎn)化為普通方程研究，特別是在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)常常轉(zhuǎn)化為普通方程求出。（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值； （Ⅱ）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則 。解：（Ⅰ） ， ， ，又， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．設(shè)…， ①則…，②由①②得…，．又…．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和 評(píng)注：解決數(shù)列問(wèn)題就要判斷是否為等差、等比數(shù)列，如果不是，那么能否構(gòu)造新數(shù)列為特殊數(shù)列，注意轉(zhuǎn)換角色，把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的特殊數(shù)列問(wèn)題和研究方法解答。例16.（全國(guó)Ⅱ，理21）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．分析：本題中涉及到的點(diǎn)比較多，其中都在直線上，（Ⅰ）中的向量要用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，所以可以先設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程解出，（Ⅱ）中的四邊形面積可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積求出，可以都以為公共邊，也可以以為公共邊求出。例18.（2008年安徽卷，理18）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小； （Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。解:（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又，因此．PBECDFAHOS因?yàn)槠矫?，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．由（Ⅰ）知平面，則為與平面所成的角．在中，所以當(dāng)最短時(shí)，最大，即當(dāng)時(shí)，最大．此時(shí)，因此．又，所以，所以．解法一：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．過(guò)作于，則平面，過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角，在中，又是的中點(diǎn)，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值為．解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以PBECDFAyzx，所以．設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，因?yàn)椋云矫?，故為平面的一法向量．又，所以．因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為．評(píng)注：本題為探索性問(wèn)題，難度比較大。又的面積為,.AOxyBC評(píng)注:考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線的距離,一元二次方程表示平面區(qū)域,不等式的內(nèi)容都是比較容易與其它知識(shí)相結(jié)合的知識(shí)點(diǎn),本題在形式上是函數(shù)和不等式問(wèn)題,但剖析之后可以發(fā)現(xiàn),知識(shí)的交匯試題是主流,很多題目都是以一個(gè)知識(shí)點(diǎn)為載體考查另一個(gè)知識(shí)點(diǎn),解題時(shí)一定要善于分析,透過(guò)表面看透問(wèn)題的實(shí)質(zhì),從而合理轉(zhuǎn)化,尋求問(wèn)題的解決途徑.（6）.（原創(chuàng)）已知過(guò)點(diǎn)（0,3）的直線與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn), ,且,其中（1）求直線的方程,并求的長(zhǎng).（2）問(wèn)若，問(wèn)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，使得的圖象恒在的圖象的上方？分析:根據(jù)求導(dǎo)公式,將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的位置關(guān)系問(wèn)題,通過(guò)解方程組,由韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算,利用待定系數(shù)法求解.解: 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,其圖象為開(kāi)口向上的拋物線, 因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（0,3）, 與拋物線交于兩點(diǎn),所以直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為,解方程組消去得：，△，方程組有兩解，設(shè)，則，∴，∵,∴，又∵ ∴，即，∴，即∴或，①當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，==.②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，==.（2）設(shè)，定義域?yàn)閯t，令，得，∴當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，∴要使得的圖象恒在的圖象的上方，需使最小值0,即評(píng)注:考查函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值, 向量的數(shù)量積, 考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,逐步翻譯,求解直線或圓錐曲線的方程時(shí)往往要先設(shè)后求,解方程組時(shí),判別式是否大于0,函數(shù)的定義域等這些細(xì)節(jié)問(wèn)題.高考資源網(wǎng)（三）函數(shù)與方程的思想方法一、知識(shí)整合函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)y＝0通過(guò)方程進(jìn)行研究。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題。函數(shù)問(wèn)題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)求解，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)。(5) 解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。5－b練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 －（2 m－8）x +－16 = 0的兩個(gè)實(shí)根 、 滿足 ＜＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________。解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原題轉(zhuǎn)化為：0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立。例3 為了更好的了解鯨的生活習(xí)