【正文】 , 馬里蘭大學的中國學者李天巖和美國數(shù)學家 Yorke J . 在《美國數(shù)學》上發(fā)表了“周期三意味著混沌”一文 , 深刻地揭示了從有序到混沌的演化過程。他的普適性的研究使混沌確定了其固定的地位。雖然 20 世紀 60 年代人們就開始注意混沌現(xiàn)象 ， 但直到 1978 年 Feigenbaum從計算機實驗中發(fā)現(xiàn)一些簡單的單變量非線性映象的分岔點結(jié)構(gòu)具有若干普遍規(guī)律 ,出現(xiàn)一些普適常數(shù)以后 ， 混沌才引起了大家的極大興趣。同時指出混沌同步在一定的條件下具有較強的魯棒性 [5]。 20xx 年王杰 ??9智 等在 Lorenz 系統(tǒng)、 Chen 系統(tǒng)和 Lu 系統(tǒng)的基礎上提出了一個新的系統(tǒng)，并證明了該系統(tǒng)的混沌特性。 可以說，混沌表示某種混亂的，不清楚的或不規(guī)則的現(xiàn)象，表現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的復雜性，隨機性和無序性。由混沌所表示的無序和不規(guī)則狀態(tài)指出了在確定性系統(tǒng)中的隨機現(xiàn)象，由事物的混沌現(xiàn)象又揭示了在自然界和人類社會中普遍存在著確定性和隨機性的統(tǒng)一、有序和無序的統(tǒng)一，正是這種確定性和隨機性之間的由此及彼的橋梁作用，使得混沌學被譽稱為 20 世紀科學家發(fā)展的第三個里程碑。目前還注意集中在時間混沌的研究上，其他類型的混沌控制尚待展開。 (2) 任給 )(, 2121 XXSXX ?? ， 有 0)()(s u plim 21 ?? XfXf tt ， 0)()(in flim 21 ?? XfXf tt 這里 ))) 此定義中，由于前兩個極限說明子集的點 1X ， SX?2 相當分散而又相當集中；第三個極限說明子集不會趨近于任意周期點，所以這個定理本身只預言有非周期軌道存在，既不涉及這些非周期點的集合是否具有非零測度，也不涉及哪個周期是穩(wěn)定的。一個連續(xù)映射 XXf ?: 稱為 X 上的混沌，如果： (1) f 是拓撲傳遞 。 (3) f 具有對初始條 件的敏感依賴性。 不管對混沌的各種定義有何區(qū)別，但混沌系統(tǒng)所具有的本質(zhì)特征是相同的，下面我們介紹幾種常用的性質(zhì) ： (1) 混沌具有內(nèi)在隨機性，是確定系統(tǒng)內(nèi) 部隨機性的反映，它不同于外在的隨機性，系統(tǒng)是由完全確定性的的方程描述，無需附加任何隨機因素，但系統(tǒng)仍會表現(xiàn)出類似隨機性的行為。 (4) 對初始條件的敏感依賴性 對初始條件的敏感依賴性或?qū)π_動的極端敏感性又稱為蝴蝶效應， 是混沌系統(tǒng)的典型特征。 隨機性是指不規(guī)則的 , 不能預測的行為 , 稱這種混沌為非平衡混沌 ,。這種有序 性表現(xiàn)為 , 第一 , 混沌內(nèi)部有結(jié)構(gòu) , 而且在不同層次上結(jié)構(gòu)具有相似性 , 即所謂的自相似性。如今，同步現(xiàn)象在激光系統(tǒng)，超導材料和通信系 統(tǒng)等領域都起著重要的作用 [1012]。響應系統(tǒng)利用接收到的信號來驅(qū)動自己，使自己的狀態(tài)與驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)一致。有兩個混沌系統(tǒng)，其中一個叫做驅(qū)動系統(tǒng)，也叫做主系統(tǒng)。 所謂主從同步，就是由兩個混沌方程組成。 混沌同步問題的研究日益受到人們的重視 ,混沌同步的方法不斷涌現(xiàn)， 提出了若干有效的設計方法 ,如 OGY 方法 、自適應控制方法 [1319]、反饋控制方法、驅(qū)動 ——— 響應同步原理（即 pc同步原理） [20]、 狀態(tài)反饋控制方法、基于逆系統(tǒng)方法、脈沖同步、滑膜同步控制、模糊同步 [21]、參數(shù)調(diào)節(jié)法、相互耦合同步法、變結(jié)構(gòu)控制法、線性和非線性反饋控制方法 [22]、主動 被動分拆同步法（ APD方法）、反饋控制方法、延遲反饋控制方法等。一種方法就是用經(jīng)典的控制方法來確定反饋控制量 [23]。為了實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步 ,首先要找到一個合適的滑動面 ,然后設計有 效非線性控制驅(qū)使誤差狀態(tài)到達該滑動面上 ,并使誤差在滑動面上到達平衡點)0,0,0( 。 混沌同步的應用 混沌同步是現(xiàn)在各學 科領域中的一個熱門課題，各種混沌同步方法的提出與實現(xiàn)，使混沌同步在物理、保密通信、生物學、信息科學、化學反應等領域有了廣泛的應用情景。 混沌通信具有許多優(yōu)點 : (1) 保密性強。 (4) 設備成本低等。混沌遮掩又稱混沌掩蓋或混沌隱藏。最早提出的驅(qū)動 — 響應同步法與變型及隨后的主動 被動法都屬于混沌遮掩方案 ,其他的有串聯(lián)法混沌掩蓋方案及改進方案和單向耦合法混沌掩蓋方案等。在接收端用相應的解調(diào)和解密方法恢復信息信號。從理論上講 ,混沌序列是非周期序列 ,具有逼近于高斯白噪聲的統(tǒng)計特性 ,并且混沌序列 數(shù)目眾多 ,更適合于作擴頻通信的擴頻碼。它是把混沌系統(tǒng)用于密碼發(fā)射的最簡單技術。這幾年 ,已提出了一些混沌同步開關方法 [30]。利用混沌編碼及解碼技術，可能大大地擴展通訊量及加強保密性等，因此該技術早就列入美國國防的研究計劃，正在加緊秘密研究之中。這是因為原來不加控制時由于混沌的緣故只能在有限的功率范圍內(nèi)維持穩(wěn)定，跟蹤控制加上去后，可以自動補償系統(tǒng)時間演化而產(chǎn)生的參數(shù)變化或其它因素所導致的參數(shù)慢變，進而消除了激光混沌，實現(xiàn)了對高周期的穩(wěn)定控制。利用混沌編碼及解碼技術，可能大大地擴展通訊量及加強保密性等，因此該技術早就列入美國國防的研究計劃，正在加緊秘密研究之中。但是，我們認為這是朝著解決問題的一種研究方向，或換句話說，時空混沌的控制與同步的研究應當把這一難題包括在自己的研究目標范疇內(nèi)。 混沌控制與同步領域與生命科學的研究諸如神經(jīng)網(wǎng)絡、腦科學、心臟等領域的研究密切相關 [36]。這種信號就是按照前述的 OGY控制方法設計的一種方案來產(chǎn)生的。 隨機因素對混沌同步的影響 在現(xiàn)實世界中，不確定性因素是普遍存在的，這些不確定的 、隨機的因素往往對系統(tǒng)產(chǎn)生一些不利的干擾。所以，在本文中，我們還考慮了噪聲對混沌同步的影響，這樣就更符合實際應用。所謂“魯棒性 ”，是指控制系統(tǒng)在一定（結(jié)構(gòu)，大?。┑膮?shù)攝動下，維持某些性能的特性。在實際問題中，系統(tǒng)特性或參數(shù)的攝動常常是不可避免的。魯棒性問題與控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（頻率域內(nèi)表征控制系統(tǒng)穩(wěn)定性裕量的一種性能指標）和不變性原理（自動控制理論中研究扼制和消除擾動對控制系統(tǒng)影響的理論）有著密切的聯(lián)系，內(nèi)膜原理（把外部作用信號的動力學模型植入控制器來構(gòu)成高精度反饋控制系統(tǒng)的一種設計原理）的建立則對魯棒性問題的研究起了重要的推動作用。 控制系統(tǒng)的一個魯棒性是指控制系統(tǒng)在某種類型的擾動作用下，包括自身模型的擾動下，系統(tǒng)某個性能指標保持不變的能力。它的進一步發(fā)展和應用，將是控制系統(tǒng)最終能否成功應用于實踐的關鍵。 第二章 準備工作 設一個非線性系統(tǒng)： ()x f x? ， （ 21） 其中 , nRx? 為狀態(tài)向量 , nn RRf ?: 是 一 個光滑的非線性映射。即 00(0) , (0)x x y y??，但是 00xy? 。，dtbxxxdxdtxxxrxdxdtxxdx)()()]([321331212121 ? （ 23） 即 dttxftAxtdx ))](()([)( ?? ， 其中??????????????brA00010?? ， ? ???? 21310)( xxxxxf ， ?? ),( 321 xxxx 為驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 0, r, b?? 為實數(shù)。在本文中，我們假設當 ji? 時， ()idt? 和 ()jdt? 是彼此獨立的過程 ，)3,2,1( ?iUi 為待設計的同步控制器 . 為了研究（ 23）和（ 24）的同步問題，定義同步誤差為 ( ) ( ) ( ) , ( 1 , 2 , 3 )i i ie t y t x t i? ? ?。要實現(xiàn) 此目的，在本文中，我們將設計自適應控制器 。Vx??? (2) ( )/ 0dV x dt? ， （ 29） 則稱系統(tǒng)的原點 0?x 為全局穩(wěn)定的。 在本問中我們假設 ）（ H ? ? ? ? 2)()( tethetehtra ce ??? 下面關于向量形式的 Brownian 運動的性質(zhì)將要在本文中用到： (a) dttehteht r ac edtehdtehEdtehE iiiiiiii ))](())(([]]))(([]))(([[,0]))(([ ?? ?? ??? (b) 假設 ),( txVV? 是一個標量函數(shù)，其中 ?? ),( 321 xxxx 得到 V 的微分形式為 jiji jiii i dxdxxx VdxxVdttVdV ?? ?? ?? ????????31,231 21 在上述方程中，運用到下面的代數(shù)運算)(0,0,0,0 lkddddddtdtdt ilikijijij ????????? ?????且 )(ti? 和 )3,2,1,)(( ?jitj? 是獨立的過程，因此 0?? ilik dd ?? 對于 ji? 和任意的)3,2,1(, ?lk 。 選取如下的 Lyapunov函數(shù) 231 )(21)()(21)( kktetetV ii i ??? ??? ?， （ 32） 其中 k 是待定常數(shù)。 第四章 舉例 在本章中，我們將用具體的數(shù)值仿真來驗證本文的理論結(jié)果。其中圖 3圖 5分別 描述的是 11( ), ( ),x t y t 22( ), ( )x t y t 以及 33( ), ( )x t y t 的軌道圖形。通過設計一個適當?shù)淖赃m應控制器，利用 Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性理論并通過嚴格的數(shù)學證明得到自適應同步的充分條件。J H , Chen G R 20xx Int .[J] . Bifurc. Chaos 12 659. [9] Liu C x， Lju L. uu K20xx Chaos Solitons Fract[Z]． [s． 1． ]： [S． n． ]，20xx． [10] LI D M, LU J A,WU X Q. Linearly coupled synchronization of the unified chaotic systems and the Lorenz systems[J]. Chaos, Solitons amp。 11級數(shù)學學院 A班 木三刀 畢業(yè)論文 院系名稱 數(shù)學學院 20xx 年 5 月 28 日 目 錄 論文題目 GenesioTesi 混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究 學生姓名 達亞偉 學 號 20xx6303 專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學 092班 指導教師 李慧民 中 文摘要 ............................................................ 1 英文摘要 ............................................................ 2 1 引言 .............................................................. 3 2 混沌 混沌的發(fā)展簡史 ................................................ 4 混沌的定義 .................................................... 5 混沌的基本特征 ................................................ 6 3 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性的定義 .................................................. 7 線性近似的局部穩(wěn)定性 .......................................... 8 Lyapunov 函數(shù)方法 .............