【正文】 1 ， 2 ， 3 列 ， 分 別 按 順 序 連 成 一 列 （ 共 得 兩列 ） ， 放 在 兩 個 基 本 列 的 右 面 ， 構(gòu) 成 一 個 4 列 9 行 的 矩 陣 ， 再 配 上 列 號、行號，就得出正交表 L 9 （ 3 4 ），見表 4 2 2 。正交拉丁方只有兩個。 例如，用 3個字母 A、 B、 C 可排成： BACACBCBA3 3 拉丁方 用 4個字母 A、 B、 C、 D 可排成： ADCBBADCCBADDCBA4 4 拉丁方 這兩個拉丁方不是唯一的。 （ 2） L8（ 27） 正交表的構(gòu)造法 ① 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣 H8 如下： ?????????????????????????????????????????????????????11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118H、 2個水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法 ② 去掉全 1 列； ③ 將 － 1 改寫為 2，并按順序配上列號、行號，就得到正交表 L8（ 27）， 見 表 421。 據(jù)此，可以用簡單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿陣，例如有： 、阿達(dá)瑪矩陣 422111111111111111111111111HHH ?????????????????????????????????????依此類推有： ?,16441682,842 HHHHHHHHH ?????? 或一個固定階的阿陣并不是唯一的。 感興趣： 第一列，第一行全為 1 的阿陣。 性質(zhì)： （ 1）每列元素個數(shù)都 是偶數(shù)； （ 2）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣； （ 3）任意一列（或行）乘－ 1以后，仍為阿陣。 最后要說明一點(diǎn) ， 在這里只考慮兩列間的交互作用 A B、 B C、 A C， 3個因素的交互作用 A B C， 一般影響很小 ， 這里不去考慮它 。 現(xiàn)將 C放在第 4列 ， 由 表 417查出 A C應(yīng)在第 5列 ， B C應(yīng)在第 6列 。試安排試驗(yàn)，并分析試驗(yàn)結(jié)果，找出最好的方案。 對于 2因素 n水平 ， fA＝ fB＝ n－ 1， 每列有 n個自由度； 而兩因素交互作用的自由度為： fA B＝ fA fB ＝ （ n－ 1） （ n－ 1） ，所以交互作用列要占 （ n－ 1） 列 。 交互作用表 下面介紹交互作用表和它的用法， 表 417就是正交表 L8（ 27）所對應(yīng)的交互作用表。BABA記為因素的交互作用各因素聯(lián)合起作用因素如各因素各自獨(dú)立起作用多因素試驗(yàn)例 有 4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物。 從試驗(yàn)結(jié)果看 8號試驗(yàn)為最好 。 例 4. 5 的 解 這樣就變成了一個 4因素 3水平的試驗(yàn) ， 可以按 L9（ 34） 表安排試驗(yàn) ， 并對正交表進(jìn)行重構(gòu) ， 測出結(jié)果 ， 并進(jìn)行分析 ， 見 表 415所示。 如何將 C變成 3水平的因素呢 ？ 從 C中的 1和 2水平中選一個水平讓它重復(fù)一次作為第 3水平 ， 這就叫虛擬水平 。 試安排試驗(yàn) ， 并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析 ， 找出最好的試驗(yàn)方案 。按這個方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊，然后進(jìn)行分析，見 表 412。 例 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn) ， 具體試驗(yàn)因素及水平如 表 411所示 。 混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。但如何合理地評分，是最關(guān)鍵的問題。 從表 49看出 ， A、 D兩個因素的極差都很大 ， 是對試驗(yàn)影響很大的兩個因素 ， A D1為好； B因素的極差比 A、 D的極差小 ，對試驗(yàn)的影響比 A、 D都?。?B因素取 B3為好； C因素的極差最小 ，影響最小 ， C取 C2為好 。 根據(jù)這個總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析 。 有影響的因素有 4個 ， 各有 3個水平 ， 具體情況如 表 48所示 。 通過各因素對各指標(biāo)影響的綜合分析 ， 得出較好的試驗(yàn)方案是： B3： 粒度取第 3水平 ， 8； C1： 堿度取第 1水平 ， ； A2： 水分取第 2水平 ， 9。 從 圖 B均取 8為最好 —— 即取 B3。 綜合平衡法（例 ） 解 3因素 3水平 ， 應(yīng)選 L9（ 34） 正交表來安排試驗(yàn) ， 將 3個因素依次放在前 3列 （ 第 4列不要 ） ， 得出一張具體的試驗(yàn)方案表 ，測出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果 ， 列于 表 47(a)、 (b)、 (c)中 ， 然后用直觀分析法對每個指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析 。要檢驗(yàn) 3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個指標(biāo)越大越好，第 3個指標(biāo)越小越好。 多指標(biāo)的分析方法 在例 ， 試驗(yàn)指標(biāo)只有一個 ， 考察起來比較方便 ， 但實(shí)際問題中 ， 需要考察的指標(biāo)往往不止一個 ， 有時有兩個 、 三個或更多 。這樣既保證了試驗(yàn)?zāi)康?，而試?yàn)次數(shù)又不致太多，省工省時； 試驗(yàn) ， 測定試驗(yàn)指標(biāo)； 試驗(yàn)結(jié)果分析計(jì)算，得出合理的結(jié)論。 為了最終確定試驗(yàn)方案 A2C2B3是不是最好方案 ， 可以按這個方案再試驗(yàn)一次 ， 若比 4號好 ， 作為最好結(jié)果 ， 若比 4號差 ， 則以 4號為最佳條件 。 為了便于分析計(jì)算 ， 把考查指標(biāo) （ 鐵水溫度 ） 列于 表 44的右邊 ， 做成一個新的 表 45， 利用張表進(jìn)行分析計(jì)算 。 下面通過具體例子來說明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。 正交表的兩條重要性質(zhì)： （ 1） 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的 ， 如 L9（ 34） ， 每列中不同的數(shù)字是 1， 2， 3。 格式如 表 41所示 。 因此 ， 試驗(yàn)的次數(shù)應(yīng)盡可能少 。 全面試驗(yàn)： 如 4 個 3 水平的因素 ， 要做 34＝ 81 次試驗(yàn)； 6 個 5 水平的因素 ， 要做 56＝ 15625次試驗(yàn) 。 正交表及其用法 正交表記為 Ln（ mk） ， m 是各因素的水平 ， k （ 列數(shù) ） 是因素的個數(shù) ， n 是安排試驗(yàn)的次數(shù) （ 行數(shù) ） 。 它們各出現(xiàn)三次 。 例 某水泥廠為了提高水泥的強(qiáng)度 ， 需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案 ， 經(jīng)研究 ， 有 3個因素影響水泥的強(qiáng)度 ， 這 3個因素分別為生料中礦化劑的用量 、 燒成溫度 、 保溫時間 ，每個因素都考慮 3個水平 ， 具體情況如 表 42， 試驗(yàn)的考察指標(biāo)為 28 天 的 抗 壓 強(qiáng) 度 （ MPa ） ， 分 別 為,。 從表 45中的數(shù)據(jù)處理與分析 ， 可以得出結(jié)論：各因素對考查指標(biāo) （ 抗壓強(qiáng)度 ） 的影響按大小次序來說應(yīng)當(dāng)是 A(礦化劑用量 )、 B(保溫時間 )、 C(燒成溫度 )， 最好的方案應(yīng)當(dāng)是 A2C2B3， 即： 例 A2： 礦化劑用量， 第 2水平， 4%； C2： 保溫時間， 第 2水平， 30min； B3： 燒成溫度， 第 3水平， 1450℃ 。 如出現(xiàn)后一結(jié)果 ， 說明我們的理論分析與實(shí)踐有一定的差距 ， 最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn) 。 以上的方法 —— 直觀分析法 。 如何評價考察指標(biāo)呢 ？ 兩種方法 。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方有 3個重要因素：水分、粒度和堿度。 將 3 個指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析后 ， 得出 3個好的方案：對抗壓強(qiáng)度是 A2B3C1； 對落下強(qiáng)度是 A3B3C2； 對裂紋度是 A2B3C1， 這 3個方案不完全相同 ， 對一個指標(biāo)是好方案 ， 而對另一個指標(biāo)卻不一定是好方案 ， 如何找出對各個指標(biāo)都較好的一個共同方案呢 ？ 綜合分析 ， 將指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來 ，如 圖 （ 為了看得清楚 ， 將各點(diǎn)用直線連接起來 ， 實(shí)際上并不一定是直線 。 （ 2） 堿度 C， 極差不大 ， 次要因素 。 綜合評分法 對多指標(biāo)的問題 ， 真正做到好的綜合平衡 ， 有時很困難 ， 這是綜合平衡法的缺點(diǎn) 。 試通過試驗(yàn)分析出較好方案 ，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高 。 綜合評分法（例 ） 這個方法的關(guān)鍵是如何評分 。 綜合考慮 ， 最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1， 按影響大小次序排列為： 綜合評分法（例 ） A1： 時間， 25小時； D1： 加水量， 1： 6； B3： 料中核酸含量， ； C2： pH值， 。這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來解決，單純從數(shù)學(xué)上是無法解決的。這種正交表有好多種。 試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量 ， 數(shù)值越大越好 。 經(jīng)分析得最佳方案為： A2B2C2D2。 解 ： 4因素試驗(yàn) ， C為 2個水平 ， A、 B、 D為 3個水平 。 取哪一個水平作為第 3水平呢 ？ 一般說 ， 都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn) ， 選取一個較好的水平 。 從表 415的極差可以看出 ， 因素 D對試驗(yàn)的影響最大 ， 取第 3水平最好；其次是因素 A， 取第 3水平為好；再者是因素 B， 取第 1水平為好；因素 C影響最小 ， 取第 1水平為好 。 這個試驗(yàn)只有 B不是處在最好情況 ， 而因素 B的影響是最小的 。現(xiàn)將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在 4塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)，記在 表 416中。 P183附表 4中 ，列出了幾個交互作用的正交表。 水平數(shù)相同的有交互作用的正交設(shè)計(jì) 例 某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于 3個因素 A、 B、 C， 每個因素都有兩個水平，具體數(shù)值如 表 418所示。 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7) 表 4— 17 列號（ ） 列號 例如，從左向右看，第 3 列與第 5 列的交互作用在第 6列例如，第 4 列與第 列的交互作用在第 3 列第 5 列與第 6 列的交互作用在第 3 列例 解 這是 3因素 2水平的試驗(yàn) 。 按這種安排進(jìn)行試驗(yàn) 。 正交表的構(gòu)造法 從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。 標(biāo)準(zhǔn)阿陣：第一列全為 1列（用對行乘－ 1可得）。例如： ???????????????????????????1111111111111111,111142 HH直積構(gòu)造高階阿陣的方法： 定義：設(shè)兩個 2階方陣 A、 B ??????????????2221121122211211 ,bbbbBaaaaA它們直積記為 A?B， 定義如下： ?????????????????