【正文】 問題方法指導：為了求得的值，可先求、的長，不妨設：=21. （2009山西太原）問題解決：如圖（1），將正方形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點，重合），壓平后得到折痕．當時，求的值．圖（1）ABCDEFMN類比歸納：在圖（1）中，若則的值等于 ；若則的值等于 ；若（為整數(shù)），則的值等于 ．（用含的式子表示）圖（2）NABCDEFM聯(lián)系拓廣： 如圖（2），將矩形紙片折疊，使點落在邊上一點（不與點重合），壓平后得到折痕設則的值等于 ．（用含的式子表示）2. （2011陜西）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或邊CD（含端點）交于點F，然后再展開鋪平，則以B、E、F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”.（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕△BEF”是一個_________三角形；（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．當它的“折痕△BEF”的頂點E位于邊AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標；（3）如圖③，在矩形ABCD中， AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標；若不存在，為什么？圖① 圖② 圖③ 3. （2010江西南昌）課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉所形成的有關問題．實驗與論證設旋轉角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如圖所示．（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）圖1－圖4中，連接A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；歸納與猜想設正n邊形A0A1A2…An1與正n邊形A0B1B2…Bn1重合（其中，A1與B1重合），現(xiàn)將正n邊形A0B1B2…Bn1繞頂點A0逆時針旋轉α（）．（3）設θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請直接寫出θn的度數(shù)；（4）試猜想在n邊形且不添加其他輔助線的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．4. （2009山東德州）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45186。AB=．把△ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O（如圖），△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉．（1）當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；（2）如果拋物線(a≠0)的對稱軸經過點C，請你探究：①當，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；OyxCBA1111②設b=2am，是否存在這樣的m值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．5. （湖北黃岡）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標；（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時(點N不與點B，點M重合)，設OQ的長為t，四邊形NQAC面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）將△OAC補成矩形，使得△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(不需要計算過程)．三、測試提高1． （2011山東東營）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為()，(0，1)，點D是線段BC上的動點(與端點B、C不重合)，過點D作直線交折線OAB于點E．(1)記△ODE的面積為S．求S與b的函數(shù)關系式；(2)當點E在線段OA上時，且tan∠DEO=．若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形．試探究四邊形與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由． 第三講 中考壓軸題十大類型之面積問題1. （2011遼寧大連）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由；（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由． 2. （2011湖北十堰）如圖，己知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（1，0）和點 B，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖（1），己知點H（0，1）．問在拋物線上是否存在點G （點G在y軸的左側），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由：（3）如圖（2），拋物線上點D在x軸上的正投影為點E（﹣2，0），F(xiàn)是OC的中點，連接DF，P為線段BD上的一點，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．3. （2010天津）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側），與軸的正半軸交于點，頂點為．（Ⅰ）若，求此時拋物線頂點的坐標；（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE = S△ABC，求此時直線的解析式；（Ⅲ）將（Ⅰ）中的拋物線作適當?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE =2S△AOC，且頂點恰好落在直線上，求此時拋物線的解析式．4. (2011山東聊城)如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．點E、F、G分別從點A、B、C同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G(即點F與點G重合)時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第ts時，△EFG的面積為Scm2．(1)當t＝1s時，S的值是多少？(2)寫出S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；AEBFCGD(3)若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點B、E、F為頂點的三角形與以C、F、G為頂點的三角形相似？請說明理由．5. (2011江蘇淮安)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。CE⊥AD于點E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．從初始時刻開始，動點P，Q 分別從點A，B同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，動點P沿ABCE方向運動，到點E停止；動點Q沿BCED方向運動，到點D停止，設運動時間為s，△PAQ的面積為y cm2，（這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形）解答下列問題：（1） 當x=2s時，y=_____ cm2；當=s時，y=_______ cm2．（2）當5 ≤ x ≤ 14時，求y與x之間的函數(shù)關系式．（3）當動點P在線段BC上運動時，求出S梯形ABCD時的值．（4）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有x的值．2. （2007河北）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發(fā)沿折線段BAADDC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CDDAAB于點E．點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC？（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的關系式；（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．備用圖 3. （2008河北）如圖，在中，∠C=90176。AC=8，BC=6，點P在AB上，AP=2，點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側．設E、F運動的時間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．（1）當t=1時，正方形EFGH的邊長是　?。攖=3時，正方形EFGH的邊長是　?。?）當0＜t≤2時，求S與t的函數(shù)關系式；（3）直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？備用圖三、測試提高1. （2010山東東營）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG．（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；（2）設DE = x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數(shù)關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值．BADEFGCB備用圖（1）AC