第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽模擬試題-wenkub
2023-04-19 02:32:40 本頁(yè)面
【正文】 一、圖11 ．解法一：設(shè)守方隊(duì)員經(jīng)過(guò)時(shí)間 t 在 Ax 上的 C 點(diǎn)搶到球，用 l 表示 A 與C 之間的距離，lp 表示 B 與 C 之間的距離（如圖1所示），則有l(wèi) = vt ，lp = vpt （1）和 l= d 2 + l2 －2dlcosθ． （2）解式（1），（2）可得l = {cosθ 177。 m ．3．選擇一個(gè)坐標(biāo)系，設(shè)被測(cè)物體待定位置的坐標(biāo)為 x ，y ，z ，待定時(shí)刻為 t ，第 i 個(gè)衛(wèi)星在 ti 時(shí)刻的坐標(biāo)為 xi ，yi ，z i ．衛(wèi)星信號(hào)電波以光速傳播，可以寫(xiě)出 (x －xi )2 + (y －yi )2 + (z －zi )2 = c2 (t －ti )2 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 )， （10）由于方程（1）有四個(gè)未知數(shù) t ，x ，y ，z ，需要四個(gè)獨(dú)立方程才有確定的解，故需同時(shí)接收至少四個(gè)不同衛(wèi)星的信號(hào)．確定當(dāng)時(shí)物體的位置和該時(shí)刻所需要的是式（10）中 i = 1 ，2 ，3 ，4 所對(duì)應(yīng)的四個(gè)獨(dú)立方程．4．（I）由于衛(wèi)星上鐘的變慢因子為[ 1－( v / c )2] 1 / 2 ，地上的鐘的示數(shù) T 與衛(wèi)星上的鐘的示數(shù) t 之差為T(mén) －t = T －T = [ 1－ ] T ， （11）這里 v 是衛(wèi)星相對(duì)地面的速度，可由下列方程定出： = ， （12）其中 G 是萬(wàn)有引力常量，M 是地球質(zhì)量，r 是軌道半徑．式（11）給出v = = R = R ，其中 R 是地球半徑，h 是衛(wèi)星離地面的高度，g = GM / R2 是地面重力加速度；代入數(shù)值有 v = km / s ．于是 ( v / c )2 ≈ 10－10 ，這是很小的數(shù)．所以[ 1－ ]1 / 2 ≈1－ ．最后，可以算出 24 h 的時(shí)差T －t ≈ T = T = μs ． （13）（II）衛(wèi)星上的鐘的示數(shù)t與無(wú)限遠(yuǎn)慣性系中的鐘的示數(shù)T0之差t －T0 = T0－T0 = ( －1 )T0 ． （14）衛(wèi)星上的鐘所處的重力勢(shì)能的大小為= = g ． （15）所以 = ；代入數(shù)值有/ c2 = 10－10 ，這是很小的數(shù)．式（14）近似為t －T0 ≈－ T0 ． （16）類似地，地面上的鐘的示數(shù) T 與無(wú)限遠(yuǎn)慣性系的鐘的示數(shù)之差T －T0 = T0－T0 = ( －1 )T0 ． （17）地面上的鐘所處的重力勢(shì)能的大小為= =gR ． （18）所以 = ；代入數(shù)值有/ c2 = 10－10 ，這是很小的數(shù)．與上面的情形類似，式（17）近似為T(mén) －T0 ≈－ T0 ． （19）（16），（19）兩式相減，即得衛(wèi)星上的鐘的示數(shù)與地面上的鐘的示數(shù)之差t －T ≈－ T0 ． （20）從式（19）中解出 T0 ，并代入式（20）得t －T ≈－ / (1－ )T ≈－ T = T． （21）注意，題目中的 24 h 是指地面的鐘走過(guò)的時(shí)間 T ．最后，算出 24 h 衛(wèi)星上的鐘的示數(shù)與地面上的鐘的示數(shù)之差t －T = 46 μs ． （22）三、1．依題意，為使室內(nèi)溫度保持不變，熱泵向室內(nèi)放熱的功率應(yīng)與房間向室外散熱的功率相等．設(shè)熱泵在室內(nèi)放熱的功率為 q ，需要消耗的電功率為 P ，則它從室外（低溫處）吸收熱量的功率為 q－P ．根據(jù)題意有 ≤ ， （1）式中 T1 為室內(nèi)（高溫處）的絕對(duì)溫度，T2 為室外的絕對(duì)溫度．由（1）式得P ≥ q ． （2）顯然，為使電費(fèi)最少，P 應(yīng)取最小值；即式（2）中的“≥”號(hào)應(yīng)取等號(hào)，對(duì)應(yīng)于理想情況下 P 最?。首钚‰姽β蔖 min = q ． （3）又依題意，房間由玻璃板通過(guò)熱傳導(dǎo)方式向外散熱，散熱的功率H = k S ． （4）要保持室內(nèi)溫度恒定，應(yīng)有q = H ． （5）由（3）～（5）三式得P min = k ． （6）設(shè)熱泵工作時(shí)間為 t ，每度電的電費(fèi)為 c ，則熱泵工作需花費(fèi)的最少電費(fèi)C min = P min tc ． （7）注意到 T1 = K + K = K ，T2 = － K + K = K ，1度電 = 1 kW ? h ．由（6），（7）兩式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得C min = Sktc = 元 ． （8）所以，在理想情況下，該熱泵工作12 h 需約24元電費(fèi)．2．設(shè)中間空氣層內(nèi)表面的溫度為 Ti ，外表面的溫度為 T0 ，則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)內(nèi)層玻璃、中間空氣層和外層玻璃傳導(dǎo)的熱量分別為H1 = k S ， （9）H2 = k0 S ， （10）H3 = k S ． （11）在穩(wěn)定傳熱的情況下，有H1 = H2 = H3 ． （12）由（9）～（12）四式得 k = k0 和 T1－Ti = T0－T2 ． （13）解式（13）得Ti = T1 + T2 ． （14）將（14）式代入（9）式得H1 = ( T1－T2 )S ． （15）要保持室內(nèi)溫度恒定，應(yīng)有 q = H1 ．由式（3）知，在雙層玻璃情況下熱泵消耗的最小電功率P′ min = S ． （16）在理想情況下，熱泵工作時(shí)間 t 需要的電費(fèi)C ′min = P′min tc ； （17）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 C ′min = 元 ． （18）所以，改用所選的雙層玻璃板后，該熱泵工作12 h 可以節(jié)約的電費(fèi)△Cmin = C min －C ′min = 元 ． （19）四、1．先假設(shè)由于隧穿效應(yīng)，單電子能從電容器的極板 A 隧穿到極板 B ．以 Q 表示單電子隧穿前極板 A 所帶的電荷量，VAB 表示兩極板間的電壓（如題目中圖3所示），則有VAB = Q / C
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