【正文】 等種子。（4）全概公式設(shè)事件 nB,21? 滿足1176。?)/(P)(A條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。問任意分別從 A 和 B 中各抽取一個(gè)，抽到滿足 a+b=10 的 a,b 的概率。（2）古典概型（等可能概型）1176。 0≤P(A)≤1， 2176。寫出該試驗(yàn)的樣本空間 ?。它表示 A 不發(fā)生的事件。A B=216。?（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件 A 的組成部分也是事件 B 的組成部分， （ A 發(fā)生必有事件 B 發(fā)生）： A?如果同時(shí)有 ， ，則稱事件 A 與事件 B 等價(jià)，或稱 A 等于 B： A=B。?如果 不是事件 A 的組成部分，就記為 。?一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn)（基本事件 ）組成的集合。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點(diǎn)、 “5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件；電話接線員在上午 9 時(shí)到 10 時(shí)接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布）；對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離為 米、 米及 1 米到 3 米之間都是隨機(jī)事件（正態(tài)分布） 。(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由 m 種方法完成，第二個(gè)步驟可由 n 種方法來完成，則這件事可由 mn 種方法來完成。第一章 隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 基本概念排列組合初步（1）排列組合公式 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。例 1．3：從 5 位男同學(xué)和 4 位女同學(xué)中選出 4 位參加一個(gè)座談會(huì)，要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有幾種不同的選法？例 1．4：6 張同排連號(hào)的電影票，分給 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例 1．5：用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法 A．120 種 B．140 種 C．160 種 D．180 種(4)一些常見排列①特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨例 1．6：晚會(huì)上有 5 個(gè)不同的唱歌節(jié)目和 3 個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？①3 個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；②3 個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開；③3 個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（1） 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（2） 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。通常用大寫字母?A， B， C， …表示事件，它們是 的子集。在一次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的 有 ，???則稱此次試驗(yàn) A 沒有發(fā)生。??A、 B 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件： A B，或者 A+B。則表示 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互斥。互斥未必對(duì)立。若 A表示取到的兩只球是白色的事件， ?表示取到的兩只球是紅色的事件，試用 、 ?表示下列事件：（1）兩只球是顏色相同的事件 C，（2）兩只球是顏色不同的事件 D，（3）兩只球中至少有一只白球的事件 E。 P(Ω) =13176。 ，??n??21,??2176。例 1．19：5 雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對(duì)的概率為多少？例 1．20：在共有 10 個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地坐上 6 名與會(huì)者，則指定的 4 個(gè)座位被坐滿的概率是A． B． C． D． 413121例 1．21：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序）例 1．22：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序）例 1．23：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（無序）注意：事件的分解；放回與不放回；順序問題。例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1P(B/A)?乘法公式： )/()(BA更一般地，對(duì)事件 A1，A 2，…A n，若 P(A1A2…An1)0，則有21P… n )|(|32P?…… 21|(APn… )1?n。 ? 兩兩互不相容， ),21(0)niBPi???，2176。用一等、二等、三等、四等種子播種長出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為 ，試求種子所結(jié)的穗含有 50 顆以上麥粒的概率。 ?niA1??， 0)(?P，則，i=1，2，…n。如果我們把 當(dāng)作觀察的“結(jié)果” ，而 1， 2，…， B理解為“原因” ，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)（1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件 A、 B滿足 )()(BPA?，則稱事件 A、 B是相互獨(dú)立的（這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的） 。 與任何事件都相互獨(dú)立。對(duì)于 n 個(gè)事件類似。（3）伯努利試驗(yàn)定義 我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足? 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果， A發(fā)生或 不發(fā)生；? 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 發(fā)生的概率每次均一樣；? 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn) 發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互不影響的。例 1．37：做一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為 p，求在第 n 次成功之前恰失敗 m 次的概率。?（C） P（C）≥P（A）+P（B）1（D） P（C）≤P（A）+P（B）1。A＝“某指定的 n 間房中各有 1 人” ；B＝“恰有 n 間房中各有 1 人”C＝“某指定的房中恰有 m（m≤n）人”例 1．47：有 5 個(gè)白色珠子和 4 個(gè)黑色珠子，從中任取 3 個(gè)，問全是白色的概率？條件概率和乘法公式例 1．48：假設(shè)事件 A 和 B 滿足 P（B | A）=1，則 （A） A 是必然事件。 [ ]?0)(?P例 1．49：設(shè) A，B 為兩個(gè)互斥事件，且 P（A）0, P(B)0，則結(jié)論正確的是（A） P（B | A）0。 [ ]例 1．50：某種動(dòng)物由出生而活到 20 歲的概率為 ，活到 25 歲的概率為 ，求現(xiàn)齡為 20 歲的這種動(dòng)物活到 25 歲的概率。全概和貝葉斯公式例 1．54：甲文具盒內(nèi)有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆，乙文具盒內(nèi)也有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆．現(xiàn)從甲文具盒中任取 2 支筆放入乙文具盒，然后再從乙文具盒中任取 2 支筆．求最后取出的 2 支筆都是黑色筆的概率。例 1．58：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)事件 A，B 相互獨(dú)立，已知僅有 A 發(fā)生的概率為 ，僅有 B 發(fā)生的概41率為 ，則 P（A）= ，P（B）= 。例 1．64：將一骰子擲 m+n 次，已知至少有一次出 6 點(diǎn)，求首次出 6 點(diǎn)在第 n 次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡單理解為普通函數(shù)。又由于 X是隨著試驗(yàn)結(jié)果（基本事件 ?）不同而變化的，所以 X實(shí)際上是基本事件 的函數(shù)，即 X=X(ω)。這就使得我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量的研究，這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來研究隨機(jī)現(xiàn)象了。有時(shí)也用分布列的形式給出：?? ?? ,|)(21kkpxxP?。（2）分布函數(shù)對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，通常有 ，不可能用分布率表達(dá)。 可以得到 X 落入?yún)^(qū)間 的概率。)(xk分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1176。 ，即 是右連續(xù)的；0F?5176。 )(xf稱為 的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。 0)(?f。如果一個(gè)函數(shù) 滿足 1176。 ＝ ＝ 。 )(), 獨(dú) 立 性古 典 概 型 ， 五 大 公 式 ，AE??? ))()( xxFX???對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 ，雖然有 0(XP，但事件 )(xX?并非是不可能事件 216。例 2．6：隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f(x)， ，求 A 和 F(x)。Xn,210?， 其中 ，kknqpPkC??)(( nkq,210,0,1?????則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 ， 的二項(xiàng)分布。例 2．8：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 ，若獨(dú)立地射擊 5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率。例 2．9：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 ，若獨(dú)立地射擊 5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率，用泊松分布來近似計(jì)算。 （非重復(fù)排列）baPC???例 2．12：袋中裝有 α 個(gè)白球及 β 個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取 a+b 個(gè)球（放回） ，試求其中含 a 個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a≤α，b≤β） 。⑥均勻分布設(shè)隨機(jī)變量 X的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù) )(xf在[a，b]上為常數(shù) k，即 其他，????,0)(kxf其中 k= ，ab?1則稱隨機(jī)變量 X在[a，b]上服從均勻分布，記為 X~U(a，b)。X 的分布函數(shù)為 記住幾個(gè)積分： ,10?????dxe,202?????dxe)!1(01??????ndxen， ??0 )(x?)()(??例 2．15：一個(gè)電子元件的壽命是一個(gè)隨機(jī)變量 X。⑧正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為， ????x，2)(1)(?????xexf其中 、 0?為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 ?、 ?的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為 ),(~2N。?)(xf,xe?? 0?,0, ?,?)(xF,1xe?? 0?,0 x0。當(dāng) 固定、改變 ?時(shí)， )(f的圖形形狀要發(fā)生變化，隨 ?變大，)(f圖形的形狀變得平坦，所以又稱 為形狀參數(shù)。 )(x?是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。 Φ(x)＝1Φ(x)且 Φ(0)＝ 。 ??????????????????1221)(xP分位數(shù)的定義。第二條路線較長，但出現(xiàn)意外的阻塞較少，所需時(shí)間 X 服從正態(tài)分布 N（60，16） 。2Y?（2） 是連續(xù)型隨機(jī)變量X先利用 X 的概率密度 fX(x)寫出 Y 的分布函數(shù) FY(y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。27xe?例 2．22： 是概率密度函數(shù)的充分條件是：)(21xff?（1） 均為概率密度函數(shù)),(x（2） 1)(021???xff例 2．23：一個(gè)不懂英語的人參加 GMAT 機(jī)考，假設(shè)考試有 5 個(gè)選擇題，每題有 5 個(gè)選項(xiàng)（單選） ，試求：此人答對(duì) 3 題或者 3 題以上（至少獲得 600 分）的概率？例 2．24：設(shè)隨機(jī)變量 X~U（ 0，5） ，求方程 有實(shí)根的概率。 ）例 2．31：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x)，則 Y=2lnF(X)的概率分布密度函數(shù) fY(y)=.例 2．32：設(shè) X~U ，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函數(shù) f(y)。x1 p11 p12 … p1j … p1j p上表中的最后一列（或行）給出了 X 為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，),21,()},(),{( ???jipyxPji則 X 的邊緣分布為 ；??? ijjiiY 的邊緣分布為 。分布密度 f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1） f(x,y)≥0。0)(,)(?yfxfYX例 3．3： 設(shè)二維隨向量（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y 2 5 8 求 （1）X 與 Y 的邊緣分布；（2）X 關(guān)于 Y 取值 y1= 的條件分布；（3）Y 關(guān)于 X 取值 x2=5 的條件分布。②正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為 ,12),( 2212122 )()(2 ?????? ????????????????? ????????yxxeyxf其中 ，共 5 個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，|,0,1 ???記為（X，Y）～N（ ).,21,?由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，反推則錯(cuò)。1),(0?yxF（2）F（x,y）分別對(duì) x 和 y 是非減的，即當(dāng) x2x1時(shí)，有 F（x 2,y）≥F(x 1,y)。1 60 0 0 62 0 23 0 0 6131p簡單函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的和 Z=X+Y①離散型：例 3．8：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y 0 1 20 12611 316求(i)Z 1=X+Y。2121,???例 3．9：設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 X～U（0，1） ，Y～e（1） ，求 Z=X+Y 的分布密度函數(shù) fz(z)。設(shè)以 X 表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以 Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)。簡單函數(shù)的分布例 3．19：設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為 ，.1iPX 求隨機(jī)變量（1）Z=X+Y；（2）Z=XY；（3）Z=max（X，Y）的分布律。例 3．22：設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立，且都服從（0,a）上的均勻分布，試求 的分布密度YXZ?與分布函數(shù)。求每件產(chǎn)品的平均利潤。例 4．5：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為X 2 0 2 P 試求：（1）EX 2 （2）X 2 的分布律（2）方差D(X)=E[XE(X)]2，方差，標(biāo)準(zhǔn)差)()(D??①離散型隨機(jī)變量 ??kkpXExX2][②連續(xù)型隨機(jī)變量 ?????dxfxD)(][)(2③方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(