【正文】 CD、CEFG是正方形，E在CD上，直線BE、DG交于H，且HE?HB=，BD、AF交于M，當(dāng)E在線段CD（不與C、D重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①BE⊥GD；②AF、GD所夾的銳角為45176?！摺螰EB+∠EFB=90176。﹣∠CBE，又∵∠EOB=∠PCB=90176。由三角形內(nèi)角和定理知：∠EPB+∠EBP=90176。CF⊥AD∴∠1=∠2∵AC=BC∴△ACD≌△CBG∴CD=BG，∠CDA=∠CBG∵CD=BD∴BG=BD∵∠3=∠4，BF=BF∴△BFG≌△BFD∴∠FGB=∠FDB∴∠ADC=∠BDF（故②正確）如圖2，作GB⊥BC，交CF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵∠ACB=90176。﹣∠EDF，∠AGB=90176?！唷螧AF+∠CAD=90176。∴∠DCA+∠FED=180176。﹣∠EAD，∠ADC=90176。即△MBC為Rt△，∴MC2=MB2+BC2，∵以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，=，=，即AD2=，BC2=，∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+==，∵S1+S3=4S2，∴MC2=4AB2，MC=2AB，CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)B作BM∥AD，此題的突破點(diǎn)是利用相似三角形的性質(zhì)求得MC=2AB，此題有一定的拔高難度，屬于難題．　2．（2012?深圳二模）如圖，n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B2D1C1面積為S1，△B3D2C2面積為S2，…，△Bn+1DnCn面積為Sn，則Sn等于（　?。．B．C．D．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：由n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，可作出直線B1B2．易求得△AB1C1的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，易求得S1的值，同理求得S2的值，繼而求得Sn的值．解答：解：n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，作出直線B1B2．∴S△AB1C1=2=，∵∠B1C1B2=60176。時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合．已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．　28．（2011?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）過(guò)點(diǎn)O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）若CD=4，AC=4，求垂線段OE的長(zhǎng)．　29．（2011?西寧）如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=2，ED=4，（1）求證：△ABE∽△ADB；（2）求AB的長(zhǎng)；（3）延長(zhǎng)DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．　30．（2011?黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），△AOB的面積是．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，線段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形，使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．　【章節(jié)訓(xùn)練】第27章 相似8參考答案與試題解析　一、選擇題（共15小題）1．（2011?惠山區(qū)模擬）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90176。＜α＜60176。等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)．記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．①猜想驗(yàn)證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．　26．（2011?鹽城）情境觀察將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是　_________　，∠CAC′=　_________　176。BC分別與AF，AG相交于點(diǎn)D，E．則圖中不全等的相似三角形有（　?。．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)　二、填空題（共8小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值）16．（2012?舟山）如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90176。AC=BC，D為BC中點(diǎn)，CF⊥AD．下列結(jié)論：①∠ADF=45176?！菊鹿?jié)訓(xùn)練】第27章 相似8　一、選擇題（共15小題）1．（2011?惠山區(qū)模擬）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90176。；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．正確的有（　?。．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)　7．如圖所示，△ABC中，點(diǎn)P，Q，R分別在AB，BC，CA邊上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知陰影△PQR的面積是19cm2，則△ABC的面積是（　?。．38B．C．D．　8．如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長(zhǎng)線段），O為AB的中點(diǎn)，P為AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB的垂直平分線交線段OC于點(diǎn)E，D為垂足，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①E為△ABP的外心；②△PBE為等腰直角三角形；③PC?OA=OE?PB；④CE+PC的值不變．　A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)　9．如圖，D為⊙O的直徑AB上任一點(diǎn)，CD⊥AB，若AD、BD的長(zhǎng)分別等于a和b，則通過(guò)比較線段OC與CD的大小，可以得到關(guān)于正數(shù)a和b的一個(gè)性質(zhì)，你認(rèn)為這個(gè)性質(zhì)是（　?。．B．C．D．　10．如圖，四邊形EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，則tan∠AHE的值為（　?。．B．C．D．　11．（2011?綦江縣模擬）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，下列結(jié)論：①B′E=BF；②四邊形B′CFE是平行四邊形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；其中正確的是（　　）　A．②④B．①④C．②③D．①③　12．如圖，O為矩形ABCD的中心，將直角△OPQ的直角頂點(diǎn)與O重合，一條直角邊OP與OA重合，使三角板沿逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與邊BC、AB相交，交點(diǎn)分別為M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，則y與x之間的函數(shù)圖象是（　　）　A．B．C．D．　13．如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直線BE、DG交于H，且HE?HB=，BD、AF交于M，當(dāng)E在線段CD（不與C、D重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①BE⊥GD；②AF、GD所夾的銳角為45176。點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF，給出以下五個(gè)結(jié)論：①=；②∠ADF=∠CDB；③點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；④AF=AB；⑤S△ABC=5S△BDF，其中正確結(jié)論的序號(hào)是　_________?。?7．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90176。．問(wèn)題探究如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展延伸如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．　27．（2011?義烏市）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0176。時(shí)，在α角變化過(guò)程中，△BEF與△AEP始終存在　_________　關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說(shuō)明理由；（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β．當(dāng)60176。以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別是SSS3，且S1+S3=4S2，則CD=（　　）　A．B．3ABC．D．4AB考點(diǎn)：勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；證明題；壓軸題．分析：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AD，根據(jù)AB∥CD，求證四邊形ADMB是平行四邊形，再利用∠ADC+∠BCD=90176?！郃B1∥B2C1，∴△B1C1B2是等邊△，且邊長(zhǎng)=2，∴△B1B2D1∽△C1AD1，∴B1D1：D1C1=1：1，∴S1=，同理：B2B3：AC2=1：2，∴B2D2：D2C2=1：2，∴S2=，同理：BnBn+1：ACn=1：n，∴BnDn：DnCn=1：n，∴Sn=．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．　3．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，M為AE的中點(diǎn)，BF⊥BC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BD=4，CD=3．下列結(jié)論：①∠AED=∠ADC；②=；③AC?BE=12；④3BF=4AC．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（　?。．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：①∠AED=90176。﹣∠DAC，∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本選項(xiàng)正確；②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90176?！摺螰ED+∠AEB=180176。又∠BFA=90176。﹣∠EBG，由（2）的結(jié)論得：∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此選項(xiàng)正確；（4）△ADF與△CFB不具備相似條件．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形相似的判定．　6．已知：△ABC中，∠ACB=90176。BG⊥BC∴AC∥BG，∠CAB=∠3，∠AFC=∠BFG∴△BFG∽△AFC∵BE=BD=BC=AC∴==∴AF=2BF（③正確）所以正確的有兩個(gè)．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題很復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用三角形全等及相似求解．　7．如圖所示，△ABC中，點(diǎn)P，Q，R分別在AB，BC，CA邊上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知陰影△PQR的面積是19cm2，則△ABC的面積是（　?。．38B．C．D．考點(diǎn)：三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：通過(guò)求出△QPR的面積和△ABC面積的比，即可求出△ABC的面積．解答：解：過(guò)P作PM⊥BC于M，過(guò)A作AN⊥BC于N∴△BMP∽△BNA∴PM：AN=BP：BA=2：3設(shè)△ABC的面積為S，則S△BQP=BQ?PM=?（BC）?（AN）=BC?AN?=S同理可得出：S△QRC=S，同理，過(guò)P作PE⊥AC于E，過(guò)B作BF⊥AC于F．則S△APR=SS陰影=S﹣S△BQP﹣S△QRC﹣S△APR=S=19∴△ABC的面積S=1219247。即∠EPB=∠EBP=45176?！唷鰾PC∽△BEO，得：，即PC?OB=OE?BC?PC?OA=OE?BC；故③錯(cuò)誤；④過(guò)E作EM⊥OC，交AC于M；易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45176?！唷螲EA=∠EFB，∵∠HAE=∠B，∴Rt△HAE∽△EBF，∴===，同理可得，∠GHD=∠EFB，HG=EF，∴△GDH≌△EBF，DH=BF，DG=EB，設(shè)AB=2x，BC=x，AE=a，BF=3a，則AH=x﹣3a，AE=a，∴tan∠AHE=tan∠BEF，即=，解得：x=8a，∴tan∠AHE===．故選A點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出相似三角形的相似比，根據(jù)各邊之間的關(guān)系列出方程解答．　11．（2011?綦江縣模擬）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，下列結(jié)論：①B′E=BF；②四邊形B′CFE是平行四邊形；③a2+b2=c2；④△A′