總結(jié)求矩陣的逆矩陣方法-wenkub
2022-11-03 12:37:18 本頁面
【正文】 設(shè) A 的特征多行式 nnnn aAaaAEf ?????? ?? 111)( ????? 若 A 可逆，則 0)1( ??? Aa nn 由 HamiltonCaley 定理得， 0111 ???? ?? EaAaAaA nnnn ?， 所以 EAEaAaAaAa nnnnn ????? ???? )(1 22211 ? 即 )(1222111 EaAaAaAaA nnnnn ????? ????? ?。 例 4 設(shè) n 階矩陣 A 滿足方程 022 ??? EAA 證明 EA 2? 可逆，并求它的逆矩陣 1)2( ?? EA 。對求出逆矩陣正確與否 ,一般用 EAAAA ?? ?? 11 來檢驗是否正確。下面對求逆矩陣方法進行全面論述 ,并做一步探討。 關(guān)鍵字 矩陣 逆矩陣 可逆 1 矩陣求逆常見的幾種方法 用伴隨矩陣法求逆矩 定理 ： n 階矩陣 )( ijaA? 可逆的充要條件 0?A ，而且當(dāng) )2(?n 階 矩陣 A 有逆矩陣， ?? ? AAA 11，其中 ?A 伴隨矩陣。 用初等變換法求逆矩陣 定理 如果 n 階方陣 A 可逆，則存在有限個初等矩陣， lPPP ?21, 使得lPPPA ?21? 。 證 ： 由 于 022 ??? EAA ，得 04)2)(3( ???? EEAEA ，即EEAEA ???? )2)(3(41 或 EEAEA ??????? ??? )3(41)2( ，由定義可知，)3(41)2( 1 EAEA ???? ? 2 特殊的求逆矩陣的方法 由等價標準形求可逆矩陣法 定理 ：設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， A 的秩等于 n ，存在可逆矩陣 B 與 C ，使 ECAB ? ，11 ??? BCA ， 故 BCA ??1 。 例 1 設(shè)??????????????111232422A ，求 1?A 解： A 的特征多行式 1074)( 23 ?????? ????? AEf ，由 HamiltonCaley 定理知 01074)( 23 ????? EAAAAf 因為 ?????????? ???????10054201625101)74(101 21 EAAA 例 2 設(shè) 2113A ????????，試求 ? ? 14 3 25 6 8A A A E ?? ? ? 解： A 的特征多行式為 ? ? 221 5713f A E ?? ? ? ????? ? ? ? ? ??用 ? ?4 3 25 6 6 8? ? ? ?? ? ? ?除以 ? ?2 57????得 ? ? ? ? ? ?4 3 2 25 6 6 8 1 1f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 據(jù) HamiltonCaley 定理知， ? ? 0fA? 得 ? ? 14 3 25 6 8A A A E ?? ? ?? ? 11 2 1 1 01 3 0 1AE ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 11 1 2 111 2 1 13??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? 由分塊矩陣求逆矩陣法 定理 設(shè) A ， D ， C ，分別是 mm? ， nn? ， mn? 矩陣，若 A ， D 均可逆， 則 ???????????????????11111 00DCAD ADCA 證明：由 ???????????????????? ? DADCAECAEnm 0 0001 兩邊求逆得 ????????????????????????111110 000 DAECAEDCA nm 即 11111 1 1 100 000 mnEA AACA ECD D D CA D????? ? ? ?? ? ? ????? ??? ? ? ????? ? ??? ??? ? ? ? 同理可求出 0ACD??????， 0 ADC??????，0CAD??????的逆矩陣。設(shè) E 為 4 階單位矩陣，比較 213 1 3 24 1 4 2 4 31 0 0 01 1 0 0 0002 1 2 0 012 1 3 0031 2 1 414XEXXX X X?????????????????????的兩端對應(yīng)元素，得到 21 11 1 2 0 1 0 02X? ? ? ? ? ? ? ?；解得，21 12X ??； 31 32 10 2 2 0 03XX? ? ? ? ? ? ?；解得，32 16X ??； 41 42 43 10 0 3 04X X X? ? ? ? ? ? ?。 例 1：求上三角矩陣?????????????2020210022104131A 的逆矩陣 解：根據(jù)上定理可求得 31212212 ????? ? tta 22313323 ???? ? tta 512212231313313 ???? ?? ttatta 13414434 ???? ? tta 113323241414424 ???? ?? ttatta ? ? 4133133412212241414414 ?????? ??? ttattatta 因此， ??????????????????????????210001100121045311A 如果 A 是下三角矩陣，則 TA 為上三角矩陣。由此即得 EPPAPQ ks ??????? 1121111121 ?? ??2 E 是 n 級單位矩陣，又寫成 EPPPEQA ks 1221 ??? ??3 那么 ? ? 112211 ?? ? EPPPEQA ks ?? ? ?? ?EQPPEP sk 1112111211 ??????? ??
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