解析幾何中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題-wenkub
2023-04-09 07:47:29 本頁(yè)面
【正文】 2，0)，則可設(shè)圓M的方程為. 令，. 所以. ，設(shè)拋物線C的方程為，因?yàn)閳A心M在拋物線C上，則. 所以. 由此可得，當(dāng)時(shí)，為定值．故存在一條拋物線，使|AB|為定值4. 例已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為﹒ （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由﹒解析：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得： 。 （2）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 ， 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以—K代K，可得， 所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。二、 定值問(wèn)題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。 （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線?！窘馕觥?本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)。解析： 設(shè)A（），B（），則，代入得 （1）又設(shè)直線AB的方程為，則∴，代入（1）式得∴直線AB的方程為∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（說(shuō)明：本題在特殊條件下很難探索出定點(diǎn)，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線AB，再?gòu)腁B直線系中看出定點(diǎn)。此類問(wèn)題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問(wèn)題，曲線系問(wèn)題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。例2．已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．⑴求橢圓C的方程；⑵設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．解析：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：．⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ①聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)．【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和．⑴求軌跡的方程；⑵當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)．解：⑴∵點(diǎn)到，的距離之和是，∴的軌跡是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上焦
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1