第一章偏微分方程定解問題-wenkub
2023-04-09 06:49:05 本頁面
【正文】 k0， 能量轉(zhuǎn)化與守恒定律(熱平衡) 牛頓冷卻定律(熱交換) ， 其中 為邊界面積，為外界溫度。：弦的(微小)橫振動(1) 相關(guān)的物理規(guī)律 牛頓第二定律 胡克定律 (2) 波動方程的導(dǎo)出微元分析法：(x, x+dx)已知外力 ，均勻線密度為 弦內(nèi)部張力 導(dǎo)數(shù)的基和意義：， 由牛頓第二定律得到如下矢量關(guān)系式即 由此可得：，即 ， 又由小振動條件知 而 故最終有一維波動方程為，用同樣的方法可導(dǎo)出： 二維波動方程(如鼓膜小振動)： ， 三維波動方程(如聲波)： 。如(2)(4)。 含有多個自變量，關(guān)于這些變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對這些變量的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程為偏微分方程，如(2)(5)。從物理上講它是理論物理的基本工具；在數(shù)學(xué)上屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的(偏)微分方程分支。如 牛頓定律 (1) 波動方程 (2) 熱傳導(dǎo)方程 (3)靜電場位方程 (4)激波方程 (5)等等。其中(1)為一維常微分方程；(2)(4)為三維偏微分方程；(5)為一維偏微分方程。本課程主要研究和討論三類數(shù)理方程(2)，(3)，(4)的建立(導(dǎo)出)以及幾種常用的典型的求解方法。2. 階上述(1)(5)均可改寫成如下形式 (1’) (2’) (3’) (4’) (5’)其中 ，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。含有未知函數(shù)及欺騙導(dǎo)數(shù)二次或二次以上乘積項的偏微方程稱為非線性偏微分方程。(3) 說明波動方程反映了一類物理系統(tǒng)，如細(xì)弦、彈性桿、鼓膜、聲音，乃至電磁系統(tǒng)中的電流、電壓、電場、磁場隨時間演化的共同規(guī)律。(2) 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 微元分析法 dV=dxdydz 已知dV中dt內(nèi)產(chǎn)生的熱量為g(t,x,y,z)dVdt 經(jīng)面1流入dV的熱量滿足： ， 經(jīng)面2流入dV的熱量滿足： tt+dt內(nèi)沿x軸流入dV中的凈熱量為 ，同理，tt+dt內(nèi)沿y軸流入dV中的凈熱量為 ， tt+dt內(nèi)沿z軸流入dV中的凈熱量為 故tt+dt內(nèi)dV中增加的凈熱量為 這些熱量用來使dV內(nèi)的物質(zhì)在tt+dt內(nèi)升溫，升溫所需的熱量為 ，c為物質(zhì)的比熱，由能量守恒定律知：即 化簡后可得三維熱傳導(dǎo)方程 其中 。這類現(xiàn)象(方程的解)隨時間的演化是不可逆的。(3)說明場位方程也反映了一類物理現(xiàn)象，即穩(wěn)定分布現(xiàn)象的共同特征。 定解問題及其適定性在完成了建立偏微分(數(shù)理)方程后，接下來的任務(wù)就是求解這些方程。 求解 ，其中 。 解：將原方程兩邊對積分，得。而方程為1階；，而方程為2階。 具體問題的解釋不能含有不確定的任意函數(shù)或任意常數(shù)的，這種
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