【正文】 = = 2(四)正方形類10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為_________。在直角△DBC39。即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小作點C關(guān)于直線AB的對稱點C39。EF中，EF = 1，B39。E，交AC于點P，則B39。3．如圖∠AOB = 45176。 = 50，總費用為：503 = 150萬。水廠建在M點時，費用最小。 直線類 1．如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？ 解：作點B關(guān)于直線CD的對稱點B39。 4. 如圖，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B，使四邊形PAQB的周長最小。二、數(shù)學模型 （1）如圖1，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。中考“最短線段”問題的重要應用高 尚 軍甘肅省定西市安定區(qū)內(nèi)官營中學 743011【摘 要】 數(shù)學的內(nèi)容博大精深，“最短線段”問題相關(guān)中考試題可謂是千變?nèi)f化，這一問題解題的思路和方法就是根據(jù)軸對稱知識實現(xiàn)化“折”為“直”，利用“兩點之間線段最短”“垂線段最短”來解決。 （2）如圖2，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。 ，點A是∠MON外的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小。連接AB39。如右圖，在直角△AB39。 變式．如圖C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。P是∠AOB內(nèi)一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點PP2，連接P1P2，交OA、OB于點Q，R，連接OP1，OP2，則OP = OP1 = OP2 = 10，且∠P1OP2 = 90176。E = PB39。F = 3，根據(jù)勾股定理得B39。連接DC39。中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC39。即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小故作點D關(guān)于AC的對稱點B，連接BM，交AC于點N。B⊥BC，交BD于點P，則C39。EBC = 2160 則CE39。D，交BC于點P則A39。點B是︵的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．即是在直線CD上作一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于CD的對稱點A39。OB，則∠A39。B = 4 18．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30176。B的長就是PA+PB的最小值連接OA39。連接A39。D，交y軸于點P則C39。 = 2在直角△C39。(1，0)，D(1，2)所以，有0 = k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1當x = 0時，y =1，則P(0，1) 21．如圖，一次函數(shù) y = 與反比例函數(shù)y = 交于點A，AM⊥x軸于點M，S△OAM = 1(1)求k的值，(2)點B為雙曲線y = 上不與A重合的一點，且B(1，n)，在x軸上求一點P，使PA+PB最小(1)由S△OAM = 1知，k = 2(2)作點A關(guān)于x軸的對稱點A’，連接A’B，交x軸于點P，連接PA，則PA+PB最小。的坐標為(b，a)(3)作點E關(guān)于直線l的對稱點E39。(4,1)，則3 = k+b1 = 4k+b解得：k = ，b = 所以 y = x 當x = y時，有x = y = 則Q點的坐標為( ， ) (十)二次函數(shù)類23．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120。 26．如圖，在直角坐標系中，A，B，C的坐標分別為（1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為直線l上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；(2)求當AD+CD最小時點D的坐標；(3)以點A為圓心，以AD為半徑作圓A；①證明：當AD+CD最小時，直線BD與圓A相切；②寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標。？若存在，請直接寫出點的坐標． (1)△OCP≌△ODP(2)過點B作∠AOC的平分線的垂線于點P，點P即為所求過點P作PM⊥BC于點M，則 PM = = 1所以點P的縱坐標為3，又因為點P在∠AOC的平分線上，則P(3，3)因為拋物線過原點，故設 y = ax2 + bx又拋物線經(jīng)過點P(3，3)，D(2，0)所以解得 a = 1，b = 2則拋物線的解析式為 y = x2 – 2x(3)點D關(guān)于∠AOC的平分線的對稱點是點C，連接CE交OF于點P，則△PDE的周長最小拋物線的解析式為 y = x2 – 2x的頂點E(1，1)，C(0，2)設直線CE的解析式為y = kx+b，則解得 k = 3，b = 2直線CE的解析式為y = 3x+2點P的坐標滿足解得 x = ,y = 所以P(，)△PDE的周長即是CE + DE = + (4)存在這樣的點P，使∠CPN = 90176。交a于C；③過C作CDb于D； ④連接AC、BD。CD是平行四邊形，∴CB39。＋B39。連接AC39。 同理可得AC39。B＝AC39。B 而AC39。∴AC＋CD＋DB最短。最短，顯然，A、C、B39。就是在直線L上移動的定長線段)1)過點B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB39。連接A39。Q39。Q39。 即可.點A與A39。P39。B39。P39。B39。P39。因為四邊形ADD’A’、四邊形BEE’B’都是平行四邊形，所以BE = B’E’，AD = A’D’，因為A’，B’之間線段最短，所以ADD’E’EB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以B’F = 60，A’F = 80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’ = 100，所以最短路線為108米 34．如圖，已知點A(4，8)和點B(2，n)在拋物線y = ax2上．(1) 求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；(2) 平移拋物線y = ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C(2，0)和點D(4，0)是x軸上的兩個定點．① 當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′ 最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；② 當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．(1)直線AP的解析式為：y = x + 則Q的坐標為（，0） (2) ①解法一：CQ = | 2 | = 則拋物線 y = x2向左移動個單位時，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y = （x+）2解法二：將拋物線 y = x2向左移動m個單位，則A’( 4m，8)，B’(2m，2)，點A’關(guān)于x軸的對稱點是A’’(4m，8)，直線A’’B’的解析式為：y = x + m 要使A’C+B’C最短，則點C應在直線A’’B’上，將點C(2，0)的坐標代入到直線A’’B’的解析式，得m = 則拋物線 y = x2向左移動個單位時，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y = （x+）2(2) ②拋物線向左或向右平移時，使四邊形A′B′CD的周長最短，因為A’B’ + CD 是定值，只要使A’D + B’C最短即可當拋物線向右移動時，因為A’D AD，B’C BC，所以A’D + B’C AD + BC，則在不存在一個向右的位置，使四邊形A′B′CD的周長最短當拋物線向左移動時，設A’(4a，8)，B’(2a，2)，因為CD = 2，則將點B’向左平移2個單位得到點B’’(a，2).點A’關(guān)于x軸的對稱點是A’’(4a，8)，直線A’’B’’的解析式為：y = x + m + 2要使A’D + B’’D最短，點D應在直線A’’B’’上將點D(4，0)的坐標代入到直線A’’B’’的解析式，得m = 故將拋物線向左平移時，否存在一個位置