【正文】 = = 2(四)正方形類10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為_________。在直角△DBC39。即是在直線AB上作一點(diǎn)E，使EC+ED最小作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C39。EF中，EF = 1，B39。E，交AC于點(diǎn)P，則B39。3．如圖∠AOB = 45176。 = 50，總費(fèi)用為：503 = 150萬。水廠建在M點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用最小。 直線類 1．如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？ 解：作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B39。 4. 如圖，點(diǎn)P，Q為∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B，使四邊形PAQB的周長最小。二、數(shù)學(xué)模型 （1）如圖1，直線l和l的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。中考“最短線段”問題的重要應(yīng)用高 尚 軍甘肅省定西市安定區(qū)內(nèi)官營中學(xué) 743011【摘 要】 數(shù)學(xué)的內(nèi)容博大精深，“最短線段”問題相關(guān)中考試題可謂是千變?nèi)f化，這一問題解題的思路和方法就是根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)實(shí)現(xiàn)化“折”為“直”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”來解決。 （2）如圖2，直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。 ，點(diǎn)A是∠MON外的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)P，使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最小。連接AB39。如右圖，在直角△AB39。 變式．如圖C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)PP2，連接P1P2，交OA、OB于點(diǎn)Q，R，連接OP1，OP2，則OP = OP1 = OP2 = 10，且∠P1OP2 = 90176。E = PB39。F = 3，根據(jù)勾股定理得B39。連接DC39。中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC39。即在直線AC上求一點(diǎn)N，使DN+MN最小故作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BM，交AC于點(diǎn)N。B⊥BC，交BD于點(diǎn)P，則C39。EBC = 2160 則CE39。D，交BC于點(diǎn)P則A39。點(diǎn)B是︵的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．即是在直線CD上作一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A39。OB，則∠A39。B = 4 18．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30176。B的長就是PA+PB的最小值連接OA39。連接A39。D，交y軸于點(diǎn)P則C39。 = 2在直角△C39。(1，0)，D(1，2)所以，有0 = k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1當(dāng)x = 0時(shí)，y =1，則P(0，1) 21．如圖，一次函數(shù) y = 與反比例函數(shù)y = 交于點(diǎn)A，AM⊥x軸于點(diǎn)M，S△OAM = 1(1)求k的值，(2)點(diǎn)B為雙曲線y = 上不與A重合的一點(diǎn)，且B(1，n)，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小(1)由S△OAM = 1知，k = 2(2)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B，交x軸于點(diǎn)P，連接PA，則PA+PB最小。的坐標(biāo)為(b，a)(3)作點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E39。(4,1)，則3 = k+b1 = 4k+b解得：k = ，b = 所以 y = x 當(dāng)x = y時(shí)，有x = y = 則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為( ， ) (十)二次函數(shù)類23．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。 26．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線l，D為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作圓A；①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與圓A相切；②寫出直線BD與圓A相切時(shí)，點(diǎn)D的另一個(gè)坐標(biāo)。？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)． (1)△OCP≌△ODP(2)過點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，則 PM = = 1所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，又因?yàn)辄c(diǎn)P在∠AOC的平分線上，則P(3，3)因?yàn)閽佄锞€過原點(diǎn)，故設(shè) y = ax2 + bx又拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(3，3)，D(2，0)所以解得 a = 1，b = 2則拋物線的解析式為 y = x2 – 2x(3)點(diǎn)D關(guān)于∠AOC的平分線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C，連接CE交OF于點(diǎn)P，則△PDE的周長最小拋物線的解析式為 y = x2 – 2x的頂點(diǎn)E(1，1)，C(0，2)設(shè)直線CE的解析式為y = kx+b，則解得 k = 3，b = 2直線CE的解析式為y = 3x+2點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足解得 x = ,y = 所以P(，)△PDE的周長即是CE + DE = + (4)存在這樣的點(diǎn)P，使∠CPN = 90176。交a于C；③過C作CDb于D； ④連接AC、BD。CD是平行四邊形，∴CB39。＋B39。連接AC39。 同理可得AC39。B＝AC39。B 而AC39。∴AC＋CD＋DB最短。最短，顯然，A、C、B39。就是在直線L上移動(dòng)的定長線段)1)過點(diǎn)B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB39。連接A39。Q39。Q39。 即可.點(diǎn)A與A39。P39。B39。P39。B39。P39。因?yàn)樗倪呅蜛DD’A’、四邊形BEE’B’都是平行四邊形，所以BE = B’E’，AD = A’D’，因?yàn)锳’，B’之間線段最短，所以ADD’E’EB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以B’F = 60，A’F = 80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’ = 100，所以最短路線為108米 34．如圖，已知點(diǎn)A(4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線y = ax2上．(1) 求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2) 平移拋物線y = ax2，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C(2，0)和點(diǎn)D(4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．① 當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′ 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；② 當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．(1)直線AP的解析式為：y = x + 則Q的坐標(biāo)為（，0） (2) ①解法一：CQ = | 2 | = 則拋物線 y = x2向左移動(dòng)個(gè)單位時(shí)，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y = （x+）2解法二：將拋物線 y = x2向左移動(dòng)m個(gè)單位，則A’( 4m，8)，B’(2m，2)，點(diǎn)A’關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A’’(4m，8)，直線A’’B’的解析式為：y = x + m 要使A’C+B’C最短，則點(diǎn)C應(yīng)在直線A’’B’上，將點(diǎn)C(2，0)的坐標(biāo)代入到直線A’’B’的解析式，得m = 則拋物線 y = x2向左移動(dòng)個(gè)單位時(shí)，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y = （x+）2(2) ②拋物線向左或向右平移時(shí)，使四邊形A′B′CD的周長最短，因?yàn)锳’B’ + CD 是定值，只要使A’D + B’C最短即可當(dāng)拋物線向右移動(dòng)時(shí)，因?yàn)锳’D AD，B’C BC，所以A’D + B’C AD + BC，則在不存在一個(gè)向右的位置，使四邊形A′B′CD的周長最短當(dāng)拋物線向左移動(dòng)時(shí)，設(shè)A’(4a，8)，B’(2a，2)，因?yàn)镃D = 2，則將點(diǎn)B’向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)B’’(a，2).點(diǎn)A’關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A’’(4a，8)，直線A’’B’’的解析式為：y = x + m + 2要使A’D + B’’D最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A’’B’’上將點(diǎn)D(4，0)的坐標(biāo)代入到直線A’’B’’的解析式，得m = 故將拋物線向左平移時(shí)，否存在一個(gè)位置