微分幾何課后習(xí)題解答-wenkub
2023-04-09 01:54:33 本頁面
【正文】 v,coshusinv,0},={sinhusinv,sinhucosv,0},={coshucosv,coshusinv,0},= coshu,=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu, 則其第一基本形式為:==2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射 .分析 根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射.球面的面積為：S = .解 =解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。+ F(+)+ G = 05．求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x4．設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,u–v = 0的交角。,u , bv }的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。 167。切平面方程為： 。+ y asin4．求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。 a = 0 ；法線方程為解 = u曲線為={ a（u+）, b（u）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示過點{ a, b,0}以{a,b,2}為方向向量的直線。 u曲線為={u第二章 曲面論167。,u ,bv=任意點的切平面方程為即 xcoscos解 橢圓柱面的參數(shù)方程為x = cos, y = asin, z = t , － a b = 0此方程與t無關(guān)，對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。與三坐標(biāo)軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。２ 曲面的第一基本形式1.,∴解 ，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐標(biāo)曲線互相垂直。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。,y =的交角.解 曲面的向量表示為={x,y,axy}, 坐標(biāo)曲線x = x的向量表示為={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐標(biāo)曲線y =的向量表示為={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos ……②將①代入②則得 ER 2FQ + GP = 0 .8.曲線圍城的三角形的面積是S==E ==,F== 0 ,= arctgu + v , t=,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I==arctgu + v , t =.==,L=, M=0, N==1 . 所以II = +I=, II=.3. 證明對于正螺面={u,u,bv},∞u,v∞處處有EN2FM+GL
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