【正文】 的解，且滿足==0，這里在上連續(xù)，．試證明：存在常數(shù)C使得=C．2．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．試卷答案一、選擇題 二、計(jì)算題1． 解：將方程改寫(xiě)為=+（*） 令u=,得到 =x+u,則(*)變?yōu)閤=, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解為arcsin=lnCx。試證：如果滿足初始條件的解，那么 常微分方程期末考試答案卷一、 一、 填空題。當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部________時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為_(kāi)__________。若為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是__________________________________________。 當(dāng)_______________時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全 微分方程。12．求初值問(wèn)題 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。9．滿足 _______ 的點(diǎn)，稱為駐定方程組。5．函數(shù)組的伏朗斯基行列式為 _______ 。2．函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 _______ 。５、 解：齊線性方程的特征方程為，解得，故齊線性方程的基本解組為：，因?yàn)槭翘卣鞲?，所以原方程有形如，代入原方程得，所以，所以原方程的通解為６?解： 解得　所以奇點(diǎn)為（　經(jīng)變換，　　　　方程組化為　因?yàn)橛帧∷?，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過(guò)變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)一步判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性：６、。３、求方程通過(guò)的第三次近似解。１１、若是的基解矩陣，則滿足的解（　　　　　　　　?。?。８、若和都是的基解矩陣，則和具有關(guān)系：（　　　　　?。＃?、對(duì)畢卡逼近序列。證明：因?yàn)閥=為方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)令y=+z，則有+= P(x)+Q(x)+R(x) (2)(2)(1)得= P(x)+Q(x)z即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)此為n=2的伯努利方程。6. 解：ydxxdyx(+)dx=0,兩邊同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解為arctg=C。2）當(dāng)y0時(shí)，令z=得=z+x. 這是線性方程，解得它的通解為z=代回原來(lái)的變量y得方程解為=；y=0. 二． 證明題(10%*2=20%)9. 試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個(gè)積分因子。 （2）由于為方程x=Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax的解矩陣，而當(dāng)t= t時(shí)，(t)(t)=E, (t t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t t)常微分方程期終試卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 1.同樣如果以(t)表示第二列，我們有(t)== (t)這樣(t)也是一個(gè)解。 求方程三、 證明題30%=是方程組x=x,x=，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間a上的基解矩陣。 形如_____________的方程，稱為伯努利方程， 如果存在常數(shù)_____________對(duì)于所有函數(shù)稱為在R上關(guān)于滿足利普希茲條件。二、計(jì)算題（６０％）２、３、若試求方程組的解并求expAt４、５、求方程經(jīng)過(guò)（0，0）的第三次近似解,并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性.三、證明題（１０％）１、階齊線性方程一定存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解。４、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是__________________________。 常微分方程期終考試試卷(1)一、 填空題（30%）方程有只含的積分因子的充要條件是（ ）。. 10. 證明： 一個(gè)復(fù)值向量函數(shù)是（LH）的解的充要條件，它的實(shí)部和虛部都是（LH）的解。9. 設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組與在（a, b）上有相同的基本解組，則186。證明：將直接代入一階非齊次線性方程可知，對(duì)任意常數(shù)，都是一階非齊次線性方程的解。 對(duì)于每一個(gè)，以表示滿足初始條件的解向量。 亦即 ， 由于不是的特征值，故，從而存在逆矩陣， 那么可取向量 ， ， 這樣方程就有形如的解. 4. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.證明：先證必要性，設(shè)方程為線性方程，即 ， 所以 ， ， 即它有僅依賴與x的積分因子，且 是其積分因子。則含有任意常數(shù)C的表達(dá)式：是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的全部解的共同表達(dá)式。階齊次線性常微分方程有且最多有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。 同理，可得。再證明向量組，...，線性無(wú)關(guān)。由于方程組（1）的解，則有，即 其中表示單位矩陣。原方程的一個(gè)特解為 故是原方程的一個(gè)特解。證明題：如果已知二階線性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組為，證明其有一特解是,其中及是區(qū)間Ｉ上的連續(xù)函數(shù)，是的朗斯基行列式。由于是定義在區(qū)間上的的連續(xù)矩陣函數(shù)，所以對(duì)任意給定的初始條件，方程組存在唯一的解。因而　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，由，從而有，顯然。證明題： 設(shè)在上連續(xù)，且，又，求證：對(duì)于方程 的一切解，均有。應(yīng)用洛比達(dá)法則得 。分別取初始條件，．．．，它們對(duì)應(yīng)的解分別為且這個(gè)解在時(shí)的朗斯基行列式為，則是個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。證 已知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組，則齊次方程的通解為 。證明題：設(shè)是常系數(shù)線性齊次方程組……（1）的解，的分量都是次數(shù)的多項(xiàng)式，但至少有一個(gè)分量是的次多項(xiàng)式，證明向量組，...，是方程組（1）的線性無(wú)關(guān)解組。 由易得 。 因?yàn)榈姆至慷际谴螖?shù)的多項(xiàng)式，但至少有一個(gè)分量是的次多項(xiàng)式，所以，而當(dāng)時(shí)。故向量組，...，線性無(wú)關(guān)。證明 ：由于階齊次線性常微分方程分別滿足初始條件的解為則一定存在個(gè)解，又因?yàn)槿羧稳€(gè)解由于 即最后一行可由前行線性表出，則=0，故這個(gè)解一定是線性相關(guān)的。9. 設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則186。再證充分性，因?yàn)樵诜匠蹋兴? ， 如果它有僅依賴與的積分因子，則是的函數(shù)，設(shè) 關(guān)于積分得：，是的可微函數(shù)，故方程可表為：是線性方程. 5. 設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有.證明：設(shè)為方程的任一解，它滿足初始值條件，由常數(shù)變易法有： 由存在與唯一性定理可知，此解向量在區(qū)間上存在且有定義。 反之，設(shè)是一階非齊次線性方程的任一解，則是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解。.證明：因?yàn)榉匠探M與在（a, b）上有相同的基本解組，所以可設(shè)是其基本解矩陣。證明：設(shè)是的解，是實(shí)函數(shù)矩陣，則： ， 從而 ， 所以，且即它的實(shí)部和虛部都是（LH）的解。有只含的積分因子的充要條件是______________。５、形如___________________的方程稱為歐拉方程。試卷答案一填空題１、　　　?。?、　　　 　　　　　 ３、 　　　　　　?。础ⅲ?、６、?。贰⒘恪　　　　　》€(wěn)定中心二計(jì)算題１、解：因?yàn)?，所以此方程不是恰?dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是解２、線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程A=B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解為３、解：解得此時(shí) k=1 由公式expAt= 得４、解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對(duì)y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 ５、解： ６、解：由解得奇點(diǎn)（3，2）令X=x3,Y=y+2則因?yàn)?1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。 證明題由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無(wú)關(guān)的。 形如_____________的方程，稱為歐拉方程，這里 設(shè)的某一解，則它的任一解_____________。=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明: (t)=(t t)其中t為某一值. 因此是解矩陣。 {yx(+)}dxxdy=07．一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。10. 證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。3. 解：令x=u+3, y=v2, 可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變量并兩端積分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC 代回原變量得v=C所以，原方程的解為y+2=C.4. 解：將方程改寫(xiě)為 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,則(*)變?yōu)閤 =, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解為arcsin=lnCx。7． 解：因?yàn)镕=ma=m，又F==，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).8． 解：令f(x)=y，=，兩邊求導(dǎo)得=y，即=y，即=dx，兩邊求積得=2x+C，從而y=，故f(x)= .9. 證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)，則因?yàn)閤+y=nM，x+y=nN，故有====0.故命題成立。常微分方程期終試卷（4）一、填空題（ ）稱為變量分離方程,它有積分因子( )。５、解線性方程的常用方法有（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?。９、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（　　　　）時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（　　　　）。二、計(jì)算題求下列方程的通解。求解下列常系數(shù)線性方程。三、證明題。三、 證明題１、證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以　　　也是方程的基解矩陣，且也是方程　的基解矩陣，且都滿足初始條件， 所以3． 若為畢卡逼近序列的極限，則有______ 。6．若為齊線性方程的一個(gè)基本解組，為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非齊線性方程的所有解可表為 ________ 。二． 13．求方程的通解。________________稱為齊次方程。方程組的_________________稱之為的一個(gè)基本解組。二、計(jì)算題（共6小題，每題10分）。（30分）y=+連續(xù)的wn個(gè)線性無(wú)關(guān)解X(x,y)=0,Y(x,y)=0為零 穩(wěn)定中心二、計(jì)算題。2． 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)=ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1…) ，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 。若向量函數(shù)在域上 ，則方程組的解存在且惟一。 求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型和穩(wěn)定性（8分）答案 {yx(+)}dxxdy=05. 4.8．一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。2． 解：變量分離