反函數(shù)例題講解-wenkub
2023-04-08 23:28:55 本頁(yè)面
【正文】 ) = －2 ．例4．已知函數(shù) （x≤0），那么 f ( x )的反函數(shù)f －1 ( x )的圖像是 ( )y（B）x0－1（A）yx01（D）yx01（C）x0－1y分析：作為選擇題，當(dāng)然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )圖像，予以比較、判斷．由（x≤0）易得函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?．于是有函數(shù)f －1 ( x )的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋来藢?duì)給出圖像作檢驗(yàn)，顯然只有（D）是正確的．因此本題應(yīng)選（D）．例5．給定實(shí)數(shù)a，a≠0，a≠1，設(shè)函數(shù)（x∈R，x≠）．求證：這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x成軸對(duì)稱圖形．分析：本題可用證明此函數(shù)與其反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的思路．證明：先求給出函數(shù)的反函數(shù)：由 （x∈R，x≠），得y ( ax－1) = x－1 ．∴ (ay－1)x = y－1 ． ①若ay－1 = 0，則ay = 1 ．又a≠0，故 ．此時(shí)由①可有y = 1．于是=1，即a = 1，這與已知a≠1是矛盾的，故ay－1 ≠ 0 ．則由①得 （y∈R，y≠）．∴ 函數(shù) （x∈R，x≠）的反函數(shù)還是（x∈R，x≠）．由于函數(shù)f ( x )與f －1 ( x )的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，故函數(shù)（x∈R且x≠）的圖像關(guān)于直線y = x成軸對(duì)稱圖形．本題證明還可依軸對(duì)稱的概念進(jìn)行，即證明：若點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)f ( x )圖像上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q（y，x）也在函數(shù)f ( x )的圖像上（過(guò)程略）．例題講解（反函數(shù)）例1．求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1) y =3x－1 (x∈R)；(2) y =x3＋1 (x∈R)；(3) (x≥0)；(4) (x∈R，且x≠1)．通過(guò)本例，使學(xué)生掌握求反函數(shù)的方法．求反函數(shù)時(shí)，要
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