二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題-wenkub
2023-04-08 06:24:24 本頁面
【正文】 題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．，規(guī)定：：拋物線的伴隨直線為，即（1）在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)為 .伴隨直線為 ；拋物線與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ；（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn) (點(diǎn)在點(diǎn) 的右側(cè))與 軸交于點(diǎn)①若 求的值；②如果點(diǎn)是直線上方拋物線的一個(gè)動點(diǎn)，的面積記為，當(dāng) 取得最大值 時(shí)，求的值.【分析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由伴隨直線的定義可求得伴隨直線的解析式，聯(lián)立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，利用勾股定理可表示出ACAB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，則可用x表示出PQ的長，進(jìn)一步表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵y=（x+1）2﹣4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴其交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），故答案為：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）①∵拋物線解析式為y=m（x﹣1）2﹣4m，∴其伴隨直線為y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0），∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，∵∠CAB=90176。于是可計(jì)算出CF=4，所以PF=CF=4，從而得到自然數(shù)m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，先解方程組得B（1+，3+），設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），則EQ=﹣t2+t+1，則S△QBF=S△EQF+S△EQB=?（1+）?EQ=?（1+）?）（﹣t2+t+1），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【解答】解：（1）把點(diǎn)（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以拋物線解析式為y=x2+1；（2）BF=BC．理由如下：設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，∵BC⊥x軸，∴BC=x2+1，∴BF=BC；（3）如圖1，m為自然數(shù)，則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，∵以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴CB=CF=PF，而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF為等邊三角形，∴∠BCF=60176。則在Rt△AOC中可得∠ACO=30176?！唷螦CO=30176。網(wǎng)]（3）∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60176?？稍O(shè)AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長，從而可用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用t可表示出P、M的坐標(biāo)，過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．【解答】解：[來源:學(xué)amp。時(shí)，∠PAC=60176。 P(x，y)HMNABCOx＝1．∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90176。．∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90176。C′ EFJK設(shè)F(m，m＋3)∵C′F⊥AB，∠AFJ＋∠C′FK＝90176。 P(x，y)HMN
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