【正文】 ..與軸對稱相關的線段之和最短問題監(jiān)利縣第一初級中學 劉光杰 1519819521一．問題的引入：在學習了作軸對稱圖形之后，人教版八年級上冊P42，有這樣一個問題在這個問題中，利用軸對稱，將折線轉化為直線，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，等相關的知識，得到最短線段，這一類問題也是當今中考的熱點題型。二．數(shù)學模型：，直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。使四邊形PAQB的周長最小。M = AB39。 = 50總費用為：503 = 150萬2．如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。5．如圖∠AOB = 45176。E，交AC于點P，則B39。EF中，EF = 1，B39。即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小作點C關于直線AB的對稱點C39。在直角△DBC39?！逜C’ = AC，AB’ = AB，AC = AB∴AC’ = AB’∴△AB’C’是等邊三角形∴B’C’ = 209．如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值因為點C關于直線AD的對稱點是點B，所以連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小，過點B作BH⊥AC于點H，則EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3在直角△BHE中，BE = = = 2(四)正方形類10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為_________。作C39。的面積為：BHCH = 160所以 C39。連接A39。D的長就是PA+PD的最小值S△APD = 4在直角△ABP中，AB = 4，BP = 1根據(jù)勾股定理，得AP =所以AP上的高為：2= (八)圓類17．已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60176。B的長就是PA+PB的最小值連接OA39。 = OB = 4根據(jù)勾股定理，A39。 B DB的長就是PA+PB的最小值連接OA39。連接A39。D，交y軸于點P則C39。 = 2在直角△C39。(1，0)，D(1，2)所以，有0 = k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1當x = 0時，y =1，則P(0，1)21．如圖，一次函數(shù) y = 與反比例函數(shù)y = 交于點A，AM⊥x軸于點M，S△OAM = 1(1)求k的值，(2)點B為雙曲線y = 上不與A重合的一點，且B(1，n)，在x軸上求一點P，使PA+PB最小(1)由S△OAM = 1知，k = 2(2)作點A關于x軸的對稱點A’，連接A’B，交x軸于點P，連接PA，則PA+PB最小。的坐標為(b，a)(3)作點E關于直線l的對稱點E39。(4,1)，則3 = k+b1 = 4k+b解得：k = ，b = 所以 y = x 當x = y時，有x = y = 則Q點的坐標為( ， )(十)二次函數(shù)類23．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），連結0A，將線段OA繞原點O順時針旋轉120。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉化為“建泵站問題”。在直角△BCO中 OC = ，OB = 3，則∠BCO = 60176。 ①把點B豎直向上平移r個單位得到點B39?！蜟D且BB39。＋B39。作C39。B，C39。D39。B39。B39。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B1C處，則AC＋DB可轉化為AC＋CB39。32．如圖，A、B是直線a同側的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？作法：(假設P39。Q39。交直線L于P；3)在直線L上截取線段PQ=P39。四邊形PQBB39。均為平行四邊形.下面只要說明AP+BQAP39。P,AP39。P+B39。+BQ39。P39。P39。+BQ39。則只有點D在直線A″B″上。則BA’==15厘米36．一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點處尋找食物，已知點A到桶口的距離AC為12cm，點B到桶口的距離BD為8cm，CD的長為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？展開圖如右圖所示，作點B關于CD的對稱點B’，連接AB’，交CD于點P，則螞蟻爬行路線A→P→B為最短，且AP+PB = AB+PB’，在直角△AEB’中，AE = CD = 12，EB’ = ED + DB’ = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB’ = 25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm37．恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客．小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和．（1）求、并比較它們的大??；（2）請你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區(qū)、使、組成的四邊形的周長最?。⑶蟪鲞@個最小值．提示：涉及勾股定理、點對稱、設計方案。(1)在圖(1)中過點A作AC⊥BQ于點C，則BC = BQCQ = 4010= 30，AB= 40，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC = 40，所以PQ = 40在Rt△BPQ中，根據(jù)勾股定理，得PB = 40所以S1= PA+PB = 10+40在圖(2)中S1 = A39。B因為S1= EB+EA39。連接A39。C中，B39。 = =5038．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60176。本題的難點在距離最小。是近幾年中考壓軸題的基本模型。作B39。E = 440．如圖，△ABC中，AB=2，∠BAC=30176。N⊥AB，垂足為N，交AC于點M，則B39。AN = 2∠BAC= 60176?！螧39。N = 41．某縣社會主義新農(nóng)村建設辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設管道到另外兩處。的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60176。連接AM39。的長就是點P到A點和M點的距離之和的最小值.在Rt△AMM39。作M39。（1）求直線AB和這條拋物線的解析式：（2）以A為圓心、AO為半徑的圓記為圓A，判斷直線l與圓A的位置關系，并說明理由（3）設直線AB上的點D的橫坐標為1，P（m，n) 是拋物線 y = ax2 + bx +c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積。（3）當（2）中的M點運動到d取最大值時，記此時的點M為點N，設線段AC與y軸交于點E，F(xiàn)為線段EC上一動點，求F點到點與它到y(tǒng)軸的距離之和的最小值。H⊥y軸于點H，交AC于點F，則F點到點N與它到y(tǒng)軸的距離之和的值最小直線AC的解析式為： y = x + 1F點的橫坐標為2，則縱坐標為3，即F(2，3)而N(2，6)，所以FH = 2，F(xiàn)N = 3，則FN+FH = 544．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(6，0)、B(6，0)、C(0，)延長AC到點D，使CD = ，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標；（2）作C點關于直線DE的對稱點F，分別連結DF、EF，若過B點的直線y = kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設G為y軸上一點，點P從直線y = kx+b與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。很關鍵45．定義一種變換：平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經(jīng)過F1的頂點A．設F2的對稱軸分別交FF2于點D、B，點C是點A關于直線BD的對稱點．（1）如圖1，若F1：y = x2，經(jīng)過變換后，得到F2：y