圓錐曲線題型總結(jié)-wenkub
2022-10-31 15:53:49 本頁(yè)面
【正文】 11222 8 4( , )1 4 1 4kk???， 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2 ) , ( 2 )ppy k t y k t? ? ? ?12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦點(diǎn)為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時(shí)， MN 過(guò)橢圓的焦點(diǎn)。 線段的垂直平分線方程為： 221 1 1 2()22kyxk k k?? ? ? ?令 y=0,得0 21122x k??，則211( ,0)22E k ? ABE? 為正三角形， ?211( ,0)22E k ?到直線 AB 的距離 d 為 32 AB 。 解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于 0。 弦長(zhǎng) 公式 ：若點(diǎn) 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 在直線 ( 0)y kx b k? ? ? 上， 則 1 1 2 2y kx b y kx b? ? ? ?， ，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一， 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x k x k x k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 1 2(1 ) [ ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 或者 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 221 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x y y y yk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 1 221(1 ) [ ( ) 4 ]y y y yk? ? ? ?。 兩條直線 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b? ? ? ?垂直：則 12 1kk?? 兩條直線垂直，則直線所在的向量 120vv?? 韋達(dá)定理：若一元二次方程 2 0 ( 0 )ax bx c a? ? ? ?有兩個(gè)不同的根 12,xx，則1 2 1 2,bcx x x xaa? ? ? ?。 設(shè)直線 : ( 1)l y k x??， 0k? ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 。 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?2 2214 1k kk???212 kd k?? 22223 1 4 1122kkkkk??? ? ?解得 3913k?? 滿足 ② 式此時(shí) 0 53x? 。 題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題 例題 已知點(diǎn) A、 B、 C 是橢圓 E： 221xyab?? ( 0)ab?? 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A(2 3,0) 是橢圓的右頂點(diǎn)，直線 BC過(guò)橢圓的中心 O，且 0AC BC ? ， 2BC AC? ，如圖。 題型五：共線向量問(wèn)題 例題 設(shè)過(guò)點(diǎn) D(0,3)的直線交曲線 M： 22194xy??于 P、 Q 兩點(diǎn)，且 DP DQl=uuur uuur ,求實(shí)數(shù) l 的取值范圍。237。238。 5 （Ⅰ）求橢圓 C 的方程； （Ⅱ）設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到直線 l 的距離為23，求△ AOB 面積的最大值。（ 2）當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)， 設(shè)直線 AB 的方程為 y kx m??。 當(dāng)且僅當(dāng) 2219k k?，即 33k?? 時(shí)等號(hào)成立。 （Ⅰ）若點(diǎn) N 是點(diǎn) C 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求△ ANB 面積的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于 y 軸的直線 l，使得 l被以 AC 為 直 徑 的 圓 截 得 弦 長(zhǎng) 恒 為 定 值 ？ 若 存 在 ， 求 出 l 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 說(shuō) 明 理 由 。 由題設(shè)知 , , ,AP PB AQ QB均不為零，記 AP AQPB QB? ??,則 0?? 且 1?? 又 A， P， B， Q 四點(diǎn)共線，從而 ,A P P B A Q Q B??? ? ? 于是 124 1xx???? ? ， 121 1yy???? ? 121xxx ???? ? ， 121yyy ???? ? 從而 2 2 2122 41xxx??? ??， （ 1） 2 2 21221yyy??? ??， （ 2） 又點(diǎn) A、 B 在橢圓 C 上，即 22112 4 , (3)xy?? 222 4 , ( 4)xy?? （ 1） +（ 2） 2 并結(jié)合（ 3），（ 4）得 4 2 4sy?? 即點(diǎn) ( , )Qxy 總在定直線 2 2 0xy? ? ? 上 方法二 設(shè)點(diǎn) 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )Q x y A x y B x y，由題設(shè)， , , ,PA PB AQ QB均不為零。 解：（Ⅰ）解法一：易知 2, 1, 3a b c? ? ? 所以 ? ? ? ?123 , 0 , 3 , 0FF?，設(shè) ? ?,Pxy ，則 ? ? ? ? 2212 3 , , 3 , 3P F P F x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22211 3 3 844xxx? ? ? ? ? ? 因?yàn)?? ?2,2x?? ，故當(dāng) 0x? ，即點(diǎn) P 為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)， 12PF PF? 有最小值 2? 當(dāng) 2x?? ，即點(diǎn) P 為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， 12PF PF? 有最大值 1 解法二：易知 2, 1, 3a
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