【正文】 入寬展系數(shù)從而將三維問題化為二維問題，用差分法求解了縱向平衡微分方程。在此假設基礎上，：x方向： （21）y方向： （22）將式（21）、（22）與簡化后的Mises屈服準則聯(lián)立即可求得變形區(qū)的軋制力分布。 軋前垂直的截面，軋后保持平直；柳本左門應用解析法給出了熱軋問題的近似解析解。軋制技術的進步以及用戶對于產品質量要求的不斷提高，促使人們不斷加深對軋制理論的認識。1925年，Von Karman根據軋制變形區(qū)力學平衡條件，忽略軋件的寬展量，建立了求解平面變形的平衡方程式；1943年，Orown在此基礎上提出了考慮軋件不均勻變形理論，導出了Orown單位壓力平衡微分方程式。根據大量有限元的計算工況，提取軋制過程中軋制力的橫向分布規(guī)律，以一個等效分布系數(shù)來反映軋制力的分布規(guī)律。圖中Ap為軋制力分布系數(shù)，表示軋制力分布的中點值與平均值之比。出于對計算量的考慮，目前對于軋輥的彈性變形以及軋件的彈塑性變形計算大多都是作為兩個獨立的模型分別求解，而對于模型之間彼此的聯(lián)系涉及甚少。軋件彈塑性三維變形為輥系彈性變形模型提供軋制壓力的橫向分布，同時為帶鋼失穩(wěn)判別模型提供前張力的橫向分布，輥系變形模型為軋件變形模型提供有載輥縫橫向分布。 輥系變形理論（彈性變形、熱變形和磨損變形）。當出口與入口比例凸度的變化δ αK時，將出現(xiàn)中浪；當δ βK時，將出現(xiàn)邊浪；當δ滿足式（111）時，將不會出現(xiàn)外觀可見的浪形。在熱軋生產中尤其是粗軋及精軋機組的上游機架，帶鋼厚度大，金屬在軋制過程中很容易發(fā)生橫向流動。有時用車比雪夫正交多項式表示：σ（x) = C0+C1x+C2（2x21）+C4（8x48 x2+1） （19）式中C0 帶鋼橫向張力分布平均值；C1 帶鋼橫向張力分布的線性車比雪夫系數(shù)；C2 帶鋼橫向張力分布的二次車比雪夫系數(shù)；C4 帶鋼橫向張力分布的四次車比雪夫系數(shù)。它們被安設在軋機的適當位置，在軋制過程中對帶鋼進行實時的板形質量監(jiān)測，以利于操作人員根據需要調節(jié)板形，或是指導板形自動調節(jié)機構進行工作。連軋過程中，帶鋼一般會被施以一定的張力，使得這種由于纖維延伸差而產生的帶鋼表面翹曲程度會被消弱甚至完全消除，但這并不意味著帶鋼不存在板形缺陷。帶鋼平坦度是指帶鋼中部纖維長度與邊部纖維長度的相對延伸差。邊部減薄是指帶鋼邊部標志點厚度與帶鋼邊緣厚度之差：Eo = heo heo’ （12）Ed = hed hed’ （13）式中Eo 帶鋼操作側邊部減?。籈d 帶鋼傳動側邊部減??；heo’帶鋼操作側邊緣厚度；hed’帶鋼傳動側邊緣厚度。這兩方面的指標相互影響，相互轉化，共同決定了帶鋼的板形質量，是板形控制中必須兼顧的兩個方面。有關板形的基礎知識是解決板形問題所必需掌握的。隨著科學技術的發(fā)展，特別是一些現(xiàn)代化工業(yè)部門如建筑、能源、交通、汽車、電子、機械、石油、化工、輕工等行業(yè)的飛速發(fā)展，不僅對板帶材的需求量急劇增加，而且對其內在性能質量、外部尺寸精度和表面質量諸方面提出了嚴格的要求。日益激烈的市場競爭和各種高新技術的應用使得板帶的橫向和縱向厚度精度越來越高，也推動著軋機機型和板形控制技術的不斷向前發(fā)展。板形（Shape）所含的內涵很廣泛，從外觀表征來看，包括帶鋼整體形狀（橫向、縱向）以及局部缺陷；從表現(xiàn)形式看，有明顯板形及潛在板形之分。橫截面外形的主要指標有凸度（Crown）、邊部減薄（Edge Drop）和楔形（Wedge）。邊緣厚度位置e2一般取為5mm，也有文獻介紹為23mm。帶鋼產生平坦度缺陷的內在原因是帶鋼沿寬度方向各纖維的延伸存在差異，導致這種纖維延伸差異產生的根本原因，是由于軋制過程中帶鋼通過軋機輥縫時，沿寬度方向各點的壓下率不均所致。它會隨著帶鋼張力在后部工序的卸載而顯現(xiàn)出來，形成各種各樣的板形缺陷。帶鋼的波浪度表示為：dw = Rw/Lw*100% （16）式中dw 帶鋼波浪度；Rw 帶鋼波浪高度；Lw 帶鋼波浪長度。作為衡量帶鋼板形的兩個最主要的指標，凸度與平坦度不是孤立的兩個方面，它們相互依存，相互轉化，共同決定了帶鋼的板形質量。因此比例凸度可以在一定范圍內波動而平坦度也可以保持良好。 板形控制的基本理論包含三個方面相互關聯(lián)的理論體系，即：自20世紀60年代以來，人們對構成板形理論體系的三個模型進行了大量的研究。這固然能獲得滿意的計算精度，但如前所述，三個模型是互相聯(lián)系的統(tǒng)一整體，模型之間存在耦合關系，任何一個模型的求解都是建立在其它模型計算結果的基礎上，脫離其它模型而單純求解某個模型顯然有悖于客觀事實，在理論上也是不可能實現(xiàn)的。由圖可見，變化幅度高達60％。以此取代復雜的軋件三維彈塑性變形計算，并將其和輥系的彈性變形計算模型結合進行迭代計算。這兩個平衡式創(chuàng)立了早期軋制理論的力學模型，同時也對各種現(xiàn)代軋制理論模型的發(fā)展產生了重大的影響。傳統(tǒng)的平面應變軋制理論由于不考慮金屬的橫向流動，不能分析和解決軋制過程金屬三維應力與變形的分θσxHhpdxdxRτ10hxxzσyydyτ20zy布規(guī)律，且假設條件過多，對研究對象要求比較苛刻，注定了其不可能獲得較高得求解精度。柳本在計算中采用了以下假設： 三個主應力在單元體上均布；柳本的解析法實際上是Karman微分平衡式的擴展，是三維軋制理論研究的開端，并為其今后的發(fā)展奠定了基礎。杉山純一根據蓋列依關于金屬流動規(guī)律的研究結果，將中部視為二維變形區(qū)，邊部視為三維變形區(qū)，采用差分方法，聯(lián)合求解了二維變形區(qū)和三維變形區(qū)軋制壓力和橫向正應力的分布軋制力。雖然比解析法在求解精度及適用范圍上更進了一步，但是由于仍然采用了較多假設條件，計算精度仍有待提高。計算結果與300mm四輥冷軋機上幾種工況的實驗結果能較好的吻合。 有限元法有限單元法是隨著高速電子計算機的應用日益普及和數(shù)值分析在工程中的作用日益增長而發(fā)展起來的一種實用有效的數(shù)值計算方法。它是根據變分原理（或虛功原理）求解數(shù)學、物理問題的一種數(shù)值解法。軋件變形的有限元求解過程，也可分為粘塑性、剛塑性以及彈塑性三類，它們之間的區(qū)別在于應力－應變本構關系的不同。大型商業(yè)有限元程序Marc/Autoforge是擅長處理這類問題的優(yōu)秀商業(yè)軟件，板帶三維彈塑性變形的求解即借助于其來進行。，用戶也能夠自行創(chuàng)建材料數(shù)據庫備用。軋件為工件（Deformable Workpiece），取帶鋼長度為L。取軋輥中心為坐標原點，則各點坐標為： （23） （24） （25） （26） （27）根據熱軋板帶生產的特點，選取求解類型為三維熱力耦合彈塑性（COUPLED ELASTICPLASTIC 3D ANALYSIS）問題。此處選擇單元邊部長度為8mm（初始為5mm）作為網格再生準則。由于Lagrange描述法在物體形狀改變時，跟蹤的是特定物質點的運動；而Euler描述法是研究處于某一特定空間位置物質點的運動。觀察者隨描述的質點一起運動，在整個分析過程中參考構形始終保持不變，質點在現(xiàn)時構形中的坐標Xi是X0和時間t的函數(shù)，即： （28）與完全的拉格朗日描述法不同的是，更新的拉格朗日描述法中所有靜力學和運動學的變量參考于每一載荷或時間步長開始時的構形，即在分析過程中參考構形是不斷被更新的。在塑性變形計算中應用最多的屈服準則為屈雷斯卡（Tresca）準則和米塞斯（Von Mises）準則。如果經過屈服條件的判斷證實某一應力狀態(tài)已進入塑性，再用加載準則判斷證實此應力的進一步變化屬于加載狀態(tài)，那么，它的應力與應變應服從塑性本構關系。而形變理論不研究變形歷史對塑性變形的影響，其基本觀點認為材料進入塑性階段以后在繼續(xù)加載時，各應變分量與各應力分量之間存在一定的關系。塑性分量由LevyMises理論確定： （213）式中sij應力偏量；dλ比例因子，是與材料常數(shù)和變形程度有關的系數(shù)，它在變形過程的每一瞬間都不同，可由Mises屈服條件及拉伸試驗確定。Marc/Autoforge提供了三種求解非線性方程組的方法：牛頓拉斐遜（NewtonRaphson）法、改進的牛頓拉斐遜（Modified NewRaphson）法以及應力修正法。為此通常采用改進的NewRaphson方法（），以初始點的切線斜率作為今后各步迭代的斜率，每一步迭代采用相同的切線剛度矩陣，減少了工作量。 軋件變形云圖相對于板形理論體系的其它兩個模型而言，軋輥輥系的彈性變形計算在理論上更趨成熟。此方法也稱分割模型法，是一種離散化的方法，其基本思想是將軋輥離散成若干單元，將軋輥所承受的載荷及軋輥彈性變形也按相同單元離散化，應用格林函數(shù)概念先確定對某單元施加單位負荷時對輥身各單元條的貢獻，并將此貢獻化為影響函數(shù)，乘以輥系提供給該單元的作用力，從而求得由于該單元條受力而引起的各單元條的變形。影響函數(shù)法主要應用于一般精度的理論分析。陳先霖院士等自主研究開發(fā)出一種二維變厚度的有限元模型，可以在保證計算精度的前提下，提高計算效率。采用承受彎曲變形的實體單元描述支持輥與工作輥的彎曲變形?？傮w剛度矩陣由單元剛度矩陣合成： （223） 軋件彈塑性變形模型與軋輥彈性變形模型的聯(lián)合求解由于軋輥的彈性變形模型和軋件的三維彈塑性變形模型互為因果關系，兩者之間存在高度耦合關系，最理想的方法是建立軋輥與軋件一體的有限元變形模型進行一次性求解。這種一方面克服了將兩個模型割裂所帶來的計算偏差等弊端，同時提高了計算效率。由計算結果發(fā)現(xiàn)，軋制力在帶鋼中部基本呈現(xiàn)均勻分布的態(tài)勢，而在帶鋼邊部，軋制力略微上揚后迅速回落，這與帶鋼在邊部發(fā)生較大量的寬展有關。根據有限元數(shù)值方法求得的軋制力分布為一系列離散點，如何提取其分布規(guī)律特征、用盡可能少的特征量來完全描述軋制力的分布狀態(tài)，成為模型聯(lián)合求解的關鍵。以簡單的二次拋物線對軋制力分布進行等效處理：，x∈[B/2,B/2] （224）式中a、b 系數(shù)。 假設初始軋制力分布系數(shù)Ap1，Ap2 分別計算CgiCgi2與Cgti的代數(shù)偏差δ： （230）由上述步奏可求得各種工況的軋制力分布系數(shù)Ap值。然后利用殘余應力分布對鋼板的翹曲進行了分析，與試驗結果吻合，認為這兩種翹曲是由于鋼在輥縫出口附近橫截面上分布殘余應力存在導致的。在精整矯直帶鋼時需要采用新的精整工藝制度、矯直輥縫設定值及其適當?shù)膸т摮C直曲率等機械手段來消除帶鋼縱切分條時的翹曲現(xiàn)象。薄板穩(wěn)定性控制方程：薄板厚度為h，寬度為b（hb），每單位寬度上分布受壓的殘余應力Nxx＝－h(huán)σxx，薄板垂直方向上的偏移量w由下面的控制方程確定： (32)式中D平板的彎曲剛度： (33)E楊氏模量；v是泊松比；x軋制方向；y寬度方向。當r＝4，α＝，g＝22時，結果為對稱邊浪的情況，將α變?yōu)?后將出現(xiàn)不對稱邊浪情形。相對其它板形理論而言，軋輥磨損理論的研究較弱。國內學者應用軋制單位磨損曲線的概念對工作輥的磨損進行了預報。 高溫帶鋼（850 ℃以上）表面再生的氧化鐵皮在軋制壓力作用下破碎，其碎片作為磨粒不斷磨削軋輥輥面，形成磨粒磨損； 在與支持輥的接觸摩擦中，工作輥也同樣承受著磨粒磨損、疲勞磨損、粘著磨損等。基于以上分析，認為軋第i塊鋼的這一塊鋼的工作輥的磨損量為： （41）式中軋制第i塊鋼一塊鋼時工作輥的磨損量（x為離軋輥一端的距離），mm；kw0模型參數(shù)，與帶鋼材質、工作輥材質、帶鋼溫度、軋制力影響等有關，對于上下工作輥，其取值也不一樣；P軋制力，kN；L軋制帶鋼長度，km；B軋制帶鋼寬度，mm；kw1帶鋼寬度范圍內不均勻磨損系數(shù)；fx描述軋輥長度方向不均勻磨損的函數(shù)。這些因素都會直接影響板形質量。前者一般采用有限元計算模型（如三維瞬態(tài)溫度場有限元模型），其精度高但計算量大。經過大量的研究和實驗表明，在軋制時由于軋輥高速轉動，使得軋輥溫度場的波動僅限在軋輥極薄的表層內，而在任一截面的圓周方向幾乎無溫度波動。在滿足精度的情況下，實際生產對計算軋輥溫度場的速度要求較高，需達到在線應用的程度。計算各片溫度時考慮的熱交換有：帶鋼與軋輥之間的，軋輥與空氣之間的，軋輥與冷卻水之間的，以及軋輥各片之間的。另外在計算過程中考慮到工作輥的竄動，需引入帶鋼與工作輥接觸率系數(shù)，與帶鋼的寬度和工作輥竄輥量有關。 工作輥溫度計算和測量開發(fā)出溫度場的計算模型，代入一定的工況條件和各已知參數(shù)計算，可仿真出下機后的工作輥溫度場。凸度的測量方法一般有兩種：間接測量法和直接測量法。也有采用三個獨立的C型架，分別測量傳動側、中心點和操作側的帶鋼厚度，從而間接得到帶鋼凸度。 直接測量式凸度儀 C型架相對于帶鋼的運行路線熱軋帶鋼的凸度測量通常都設置在精軋機出口，所以要求凸度測量儀表不僅要有很高的測量精度，而且還要有很好的環(huán)境適應能力，即很高的可靠性。因為它使用兩個C型架，其中一個C型架上的射源來回移動，在軋制過程中，帶鋼