型曲面積分ppt課件-wenkub
2023-01-29 13:20:49 本頁面
【正文】 yzyxRd z dxzyxQd y d zzyxP ),(),(),( ???? ???若記 ? 正側(cè)的單位法向量為 令 )c os,c os,c os( ????n)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS ??)),(,),(,),(( zyxRzyxQzyxPA ?則 對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式 ?? ? ?? yxRxzQzyP dddddd?? ? ?? SnA d?? ? ?? SA d三、第二型曲面積分的性質(zhì) 設(shè) ),( zyxAA ?? ? ， ),( zyxBB ?? ? ， （ 3 ） dSnAdSnA ?? ???? ????? ?? ( ?? ?與 是同一曲面的兩側(cè) ) 。 n??上側(cè) xyzo對于 ? ： 軸的正向成銳角與若法向量 ),( znyxfz ?? ， 則取定了曲面的上側(cè)。 dyyxyxdxyxyx )2()2( 2222 ?????)2()2()3131( 2233 xy dydxydyxxy dxyxd ??????)()()3131( 2233 xydyxdyxd ?????)3131( 2233 xyyxyxd ????∴通解為 Cxyyxyx ???? 22333131 （ C 為任意常數(shù)）。 ? ?????? ),( )0,0( 2222 )2()2(),( yx dyyxyxdxyxyxyxu解法 1 ： （曲線積分法） 33)2(3223 0 22 0 2 yxyyxxdyyxyxdxx yx ???????? ??∴方程的通解為 Cxyyxyx ???? 2233 3131 （ C 為任意常數(shù)）。 若 ),(),( yxQyxP 在單連通域 D 內(nèi) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則 方程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 為全微分方程的充要條件是 在 D 內(nèi) 恒有 xQyP?????。 六、 全微分方程 定義 2 若存在函數(shù) ),( yxu ，使 dyyxQdxyxPdu ),(),( ?? ， 則稱 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 為全微分方程或恰當(dāng)方程。 ∵xQyxyP???????22 ， ∴此方程為 全微分方程。 解法 3（ 湊微分法 ） ?積分因子 例 2 求方程 ydx?xdy?0的積分因子并求其通解 ? 因?yàn)? 解 因?yàn)? 2)( y xdyydxyxd ?? ? 若存在一函數(shù) ???(x? y) (?(x? y)?0)? 使方程 ?(x? y)P(x? y)dx??(x? y)Q(x? y)dy?0 是全微分方程 ? 則函數(shù) ?(x? y)叫做方程 P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0的積分因子 ? 所以 21y 是 所給 方程的積分因子 ? 因?yàn)? 2)( yx d yy d xyxd ?? ? 故所給方程的通解為 Cyx? ? 例 3 求方程 (1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0 的積分因子并求其通解 ? 解 0)()( 22 ??? ydyxdxyxxyd ? 積分得通解 將方程的各項(xiàng)重新合并 ? 得 (ydx?xdy)?xy(ydx?xdy)?0? 再把它改寫成 用積分因子乘以方程 ? 方變?yōu)? 可 見 2)( 1xy 為 方 程 的 積分因子 ? 0)( )( 2 ??? ydyxdxxy xyd ? Cyxxy ln||ln1 ??? ? 即 xyCeyx1? ? ?一階線性方程的積分因子 可以驗(yàn)證 ?? dxxPex )()(?是一階線性方程 y??P(x)y?Q(x)的一個(gè)積分因子 ? 在一階線性方程的兩邊乘以 ?(x)得 兩邊積分 ? 便得通解 ?????? dxxPdxxPdxxP exQexyPey )()()( )()( ? 即 ???? dxxPdxxP exQye )()( )(][ ? CdxexQye dxxPdxxP ???? ? )()( )( ? 或 ])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ? 例 4 用 積分 因 子 求 xxydxdy 42 ?? 的 通 解 ? 解 方程的積分因子為 22)( xx dx eex ???? ? 方 程 兩 邊 乘 以 2xe 得 222 42 xxx xeyxeey ??? ? 即 22 4)( xx xeye ?? ? 222 42 xxx xeyxeey ??? ? 即 22 4)( xx xeye ?? ? 于 是 Cedxxeye xxx ??? ? 222 24 ? 因此方程的通解為 22 24 xx Cedxxey ???? ? ? 于 是 Cedxxeye xxx ??? ? 222 24 ? 第三節(jié) 第二類曲面積分 向量值函數(shù) 在 定向曲面 上的積分 一、基本概念 二、概念的引入 三、定義及性質(zhì) 四、 兩類曲面積分之間的聯(lián)系 五、 計(jì)算法 一、基本概念 觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的 ) 曲面分 上 側(cè)和 下 側(cè) 曲面分 內(nèi) 側(cè)和 外 側(cè) 曲面分 左 側(cè)和 右 側(cè) n? : (1)雙側(cè)曲面 。 軸的正向成鈍與若法向量 zn? 角，則取
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