【正文】 r V a r k Y k V a r Y k?? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） （ ）22()i i ik k k? ?? ? ? ?2 2 2[ ( ) 2 ( ) ]i i i i i ik k k k k k? ??? ? ? ? ? ? ? ?222( ) ( )iiiiixxkxx?? ? ? ???2()i i i i i ik k k k k k??? ? ? ? ? ?2()iiixkx? ?其中 22 2 21 ()()iiiiixk X Xxx??? ? ? ???中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 54 2* 2 21 2?( ) ( )iiiV a r k k x??? ?? ? ? ? ?同理可證 也有最小方差。 —— 高斯 — 馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 46 1 2? iiixyx???? 2()iiix Y Yx???? 22i i iiix Y x Yxx??????2 0iiiix kkx ??令 ， （ 是 常 數(shù) 且 不 全 為 ） ，2iiix Yx???線性特性是指參數(shù)估計(jì)量 分別為觀測值 Yi 或擾動(dòng)項(xiàng) ui的線性組合 。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 44 一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量，可以從以下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性： （ 1）線性性，即它是否是隨機(jī)變量 Yi 的線性函數(shù)； （ 2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值； （ 3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。 殘差平方和為： 01? ??iiYX?????i i ie Y Y??中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 38 2 2 201? ??( ) ( )i i i i ie Y Y Y X??? ? ? ? ? ? ? ?根據(jù)微積分中求極值的原理 2010() ? ?2 ( ) 0?iiie YX????? ? ? ? ? ? ??2011() ? ?2 ( ) 0?ii i ie Y X X????? ? ? ? ? ? ??0?? ie0?? ii Xe正規(guī)方程組 （ normal equations） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 39 解方程組 得 截距項(xiàng) ：當(dāng)解釋變量為零時(shí)，被解釋變量的取值； 0??斜率項(xiàng) ：當(dāng)解釋變量每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，被解釋變量 平均 變動(dòng) 個(gè)單位。 如果 Xi為非隨機(jī)變量，總體 Yi與誤差項(xiàng) ui服從相同的分布， Yi與 ui之間只有均值 E(Yi)的差別。而滿足同方差假設(shè)，將使檢驗(yàn)和預(yù)測簡化。 滿足這些假設(shè)條件的 Y的概率分布函數(shù)如圖所示。 這個(gè)概率函數(shù)有三個(gè)明顯特征： ? 對于不同的 X，條件概率 P(Y|Xi)的分布函數(shù)形式不同 ? 對于不同的 X，條件概率 P(Y|Xi)的方差不同 ? 對于不同的 X，條件概率 P(Y|Xi)的均值 E(Y)一般不在同一條直線上 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 27 對于這樣的概率函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析是非常困難的，目前還沒有較好的解決辦法。中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 25 模型的基本假設(shè) 仍以家庭收入 X與消費(fèi)支出 Y之間的關(guān)系為例，每個(gè)家庭的消費(fèi)支出 Y主要取決于該家庭的收入 X，但是也受其他因素的影響。 iY?i??01() i i iiiY E Y X uXu????? ? ?中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 23 樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式 /樣本回歸模型： 同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式： 由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為 樣本回歸模型 （ sample regression model） 。該直線稱為 樣本回歸線（ sample regression lines）。 稱為總體回歸函數(shù)（ PRF）的隨機(jī)設(shè)定形式。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 17 三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平 Xi 下，該社區(qū)家庭 平均的 消費(fèi)支出水平。 函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。這條直線稱為 總體回歸線 。 為達(dá)到此目的，將該 100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的 10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 7 回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括： 根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程； 對回歸方程、參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)； 利用回歸方程進(jìn)行分析、評價(jià)及預(yù)測 。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 6 回歸分析的基本概念 回歸分析 (regression analysis)是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論。 統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系。 一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念 變量間的關(guān)系包括： ? ? 2,f ??? ? ?圓 面 積 半 徑 半 徑? ?, , ,f?農(nóng) 作 物 產(chǎn) 量 氣 溫 降 雨 量 陽 光 施 肥 量中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 5 對變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析 (correlation analysis)或回歸分析(regression analysis)來完成的。 其目的在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計(jì)和（或）預(yù)測前者的（總體）均值。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 8 二、總體回歸函數(shù)（ PRF） 回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應(yīng)值的平均值。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 10 表 2 . 1 . 1 某社區(qū)家庭每月收入 與消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)表 每月家庭可支配收入 X （ 元 ） 800 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1 1 5 5 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 28 60 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1 1 2 2 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1 1 5 5 1331 1562 1749 2022 2299 2640 1 1 8 8 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 187 0 2 1 1 2 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費(fèi) 支 出 Y （元） 2022 共計(jì) 2420 4950 1 1 4 9 5 1 6 4 4 5 1 9 3 0 5 2 3 8 7 0 2 5 0 2 5 2 1 4 5 0 2 1 2 8 5 1 5 5 1 0 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 11 由于不確定性因素的影響，對同一收入水平 X，不同家庭的消費(fèi)支出并不完全相同； 但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平 X 的消費(fèi)支出 Y 的分布是確定的，即以 X 的給定值為條件的 Y 的條件分布（ Conditional distribution）是已知的，例如： P(Y=561|X=800） =1/4。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 13 0 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 500 1000 1500 2022 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入 X（元） 每 月 消 費(fèi) 支 出 Y（元） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 14 在給定解釋變量 Xi 條件下被解釋變量 Yi 的期望軌跡稱為 總體回歸線 （ population regression line），或更一般地稱為總體回歸曲線（ population regression curve）。 例 子 中，將居民消費(fèi)支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時(shí) : ii XXYE 10)|( ?? ??為一線性函數(shù)。 但對某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平存在偏差。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 22 樣本回歸線可以看成總體回歸線的近似替代。 ?iiuu樣 本 殘 差 或 剩 余 項(xiàng) （ residual ） ，也 可 看 成 是 的 估 計(jì) 量 。 ?高收入家庭，消費(fèi)支出的離散性比較大 (方差較大 ) ?低收入家庭，消費(fèi)支出的離散性比較小 (方差較小 ) 通常，消費(fèi)支出 Y 的分布函數(shù)是多種多樣的，不一定是正態(tài)分布，也不一定是相同的分布。為了簡化數(shù)學(xué)分析，通常對實(shí)際情況進(jìn)行抽象，做一些假設(shè)： 1) 假設(shè)概率函數(shù) P(Y|X)的分布函數(shù)形式相同。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 28 P( Y | X ) o Y x 2 x 3 x 4 X i i X Y E 1 0 ) ( ? ? ? ? X 1 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 29 1） 重復(fù)抽樣中 ， 解釋變量 是一組固定的值或 雖然是隨機(jī)的 ， 但與干擾項(xiàng) 獨(dú)立； iXiu一、 對變量和模型的假定 2） 無測量誤差； iX3） 模型設(shè)定正確 （ 不存在設(shè)定誤差 ） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 30 假定 1： 隨機(jī)誤差項(xiàng) ui的數(shù)學(xué)期望（均值）為 0，即 0)( ?iuE 01()iiE Y X????二 、 對隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) （ 或分布 ） 的假定 iu iY01P R F : iiYX????中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 31 假定 2：隨機(jī)誤差項(xiàng) ui的方差與 i無關(guān)，為一個(gè)常數(shù)，又稱為同方差性。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 32 假定 3：無自相關(guān)假定，即 0?），（ ji uuC o v 0),( ?ji YYC o v 表示不同的誤差項(xiàng)之間互相獨(dú)立，同時(shí)， 不同的被解釋變量在統(tǒng)計(jì)上也是互相獨(dú)立的。 根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí)，假定 5對于任何實(shí)際模型都是滿足的。 1??1??注：令 1 22?()i i i iiin X Y X Yn X X?? ? ? ??? ? ? 1 2( ) ( )?()()iiiX X Y YXX???????01? ?YX????01? ??iiYX????XXx ii ?? YYy ii ?? 1 2? iiixyx????或 01201? ?? ?iii i i iY n XX Y X X????? ? ? ?? ? ? ??OLS估計(jì)量的 離差形式（ deviation form） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 40 YYy ii ?? ??0 1 0 1? ? ?