優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-wenkub
2023-01-28 05:58:01 本頁面
【正文】 nii iF F F Fs x x xFx? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????x x x xxO x2 x1 x10 x20 x0 ?x1 ?x2 ?s x S ?1 ?2 圖 21 二、 梯度 二元函數(shù)的梯度 0 001212c os c osF F Fs x x??? ? ???? ? ?x xx01212c osc osFFxx???? ????? ?? ???? ????x0010122()TFx FFFF xxx????????????? ? ???? ???? ???????xxx為函數(shù) F(x1， x2)在 x0點(diǎn)處的梯度。 23 二次函數(shù)及正定矩陣 167。第二章 優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 167。 24 無約束優(yōu)化問題的極值條件 167。 梯度的模： ? ?1212c osc osc os ,TF F Fs x xF s F s F s???? ??? ? ?? ?? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?2212FFFxx? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ?設(shè) 12c osc oss?????????梯度方向和 s方向重合時(shí)，方向?qū)?shù)值最大。 由于梯度的模因點(diǎn)而異，即函數(shù)在不同點(diǎn)處的最大變化率是不同的。 221 2 1( ) 4 4f x x x? ? ? ?x 1 12224()2fx xfxfx?????? ?????? ? ?????? ???????x( 1 )1( 1)224 2()2 4xxfx??? ??? ? ??? ??????x在點(diǎn) x(1)=[3,2]T處的梯度為： ?解： ? ? ? ?1 2 1 2126 4 , 4 2f X f Xx x x xxx??? ? ? ? ???? ?? ?? ? 12121 120012102164 442 2xxxxfXx xxP f XxxfXx??????????? ?? ??? ????? ? ? ? ? ??? ???? ? ?? ????????????例 22：試求目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn) 處的最速下降方向，并求沿這個(gè)方向移動(dòng)一個(gè)單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是全域最優(yōu)點(diǎn) 。 為了研究函數(shù)的凸性，現(xiàn)引入凸集的概念： 167。 ? ?凸集的性質(zhì)： 1） 若 D為凸集 ， 是一個(gè)實(shí)數(shù) ， 則集合 D仍是凸集； ? ? 2） 若 D和 F均為凸集 ， 則其和 （ 或并 ） 仍是凸集； 3） 任何一組凸集的積 （ 或交 ） 仍是凸集 。 凸函數(shù)的一些性質(zhì)： 1） 若 f（ X） 為定義在凸集 D上的一個(gè)凸函數(shù) ， 且 a是一個(gè)正數(shù) （ a 0） ， 則 af（ X） 也必是定義在凸集 D上的凸函數(shù)； 3） 若 f1(X） ， f2(X)為定義在凸集 D上的兩個(gè)凸函數(shù) ， α 和 β為兩個(gè)任意正數(shù) ， 則函數(shù) afl（ X） ＋ β f2(X)仍為 D上的凸函數(shù) 。尤其對(duì)一些工程問題，由于其數(shù)學(xué)模型的性態(tài)都比較復(fù)雜，更難實(shí)現(xiàn)。 23 二次函數(shù)及正定矩陣 ? ? cxbxxgxxxf niiininjjiijn ??? ?? ??? ? 11 121 21, ?其中 均為常數(shù)。 ? ? 12 Tf X X Q X?? ? 12 TTf X X Q X b X c? ? ? 若 ，且 X≠0，均有 ＜ 0，則稱 Q是 負(fù)定 的。 ? ? 12 Tf Z X Q X b X c? ? ?定理： 若二次函數(shù) 中 Q正定，則它的等值面是同心橢球面族，且中心為 *1X Q b???證明：作變換 ，代入二次函數(shù)式中： 1X Y Q b???? ? ? ?bQYfY 1????? ? ? ? ? ? cbQYbbQYQbQY TT ?????? ??? 11121cbQbQYY TT ??? ? 12121根據(jù)解析幾何知識(shí)， Q為正定矩陣的二次型 的等值面是以坐標(biāo)原點(diǎn) 為中心的同心橢球面族。因此在最優(yōu)化理論中判定一個(gè)算法好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，是把該算法用于 Q為正定的二次目標(biāo)函數(shù)，如能迅速找到極小點(diǎn)，就是好算法；否則就不是太好的算法。 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2, , 3 2 3 4 5f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?*1X Q b???? ?1 2 3 12 TTf x x x X Q Z b X????????????????????????1031031021031023101210210121081Q極小點(diǎn)是 = = *X bQ 1?????????????????707682解：展開 ? ? ? ??????????????????????????
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